Pětiboký ihlan

Vypočítajte objem a povrch pravidelného pětibokého ihlanu o podstavné hrane a = 12,8 cm a výškou v = 32,1 cm.

Správna odpoveď:

V =  3016,1483 cm³
S =  1347,0581 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a=12,8\text{cm} \\ v=32,1\text{cm} \\ n=5 \\ {S}_1=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{5\cdot (5+2\cdot \sqrt{5})}\cdot a^2=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{5\cdot (5+2\cdot \sqrt{5})}\cdot 12,8^2\doteq 281,883{\text{cm}}^2 \\ V=\frac{1}{3}\cdot S_1\cdot v=\frac{1}{3}\cdot 281,883\cdot 32,1=3016,1483{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_1=n\cdot A \\ T=S_1/n=281,883/5\doteq 56,3766{\text{cm}}^2 \\ T=\frac{a\cdot h_1}{2} \\ {h}_1=\frac{2\cdot T}{a}=\frac{2\cdot 56,3766}{12,8}\doteq 8,8088\text{cm} \\ {h}_2^2=v^2+h_1^2 \\ {h}_2=\sqrt{v^2+h_1^2}=\sqrt{32,1^2+8,8088^2}\doteq 33,2867\text{cm} \\ {S}_2=\frac{a\cdot h_2}{2}=\frac{12,8\cdot 33,2867}{2}\doteq 213,035{\text{cm}}^2 \\ S=S_1+n\cdot S_2=281,883+5\cdot 213,035=1347,0581{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad