MO Z9-I-6 2019

Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
Jakub našiel taký trojuholník, v ktorom najdlhšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu zapísal na tabuľu. Dávid našiel taký trojuholník, v ktorom najkratšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu tiež zapísal na tabuľu. Kristína obe dĺžky na tabuli správne sčítala a vyšlo jej 1 681 mm. Určte, ktoré číslo Kristína zvolila.

Správna odpoveď:

K = 2019

Postup správneho riešenia:

K = 3 k, k \in N K = a + b + c a < b < c 3 k = a + b + c max = (K - 1) / 2 m i n = 1 K = j_{1} + j_{2} + j_{3} j_{1} < j_{2} < j_{3} j_{1} = 1 \lor j_{1} = 2 j_{2} = (K - 3) / 2 j_{3} = (K - 1) / 2 1 + (K - 3) / 2 + (K - 1) / 2 = K K = d_{1} + d_{2} + d_{3} d_{1} < d_{2} < d_{3} d_{1} = K / 3 - 1 d_{2} = K / 3 + 0 d_{3} = K / 3 + 1 d_{1} + j_{3} = 1681 K / 3 - 1 + (K - 1) / 2 = 1681 3 k / 3 - 1 + (3 k - 1) / 2 = 1681 3 \cdot k / 3 - 1 + (3 \cdot k - 1) / 2 = 1681 15 k = 10095 k = \frac{1 0 0 9 5}{1 5} = 673 k = 673 K = 3 \cdot k = 3 \cdot 673 = 2019 j_{1} = 2 mm j_{2} = (K - 3) / 2 = (2019 - 3) / 2 = 1008 mm j_{3} = (K - 1) / 2 = (2019 - 1) / 2 = 1009 mm o_{1} = j_{1} + j_{2} + j_{3} = 2 + 1008 + 1009 = 2019 mm d_{1} = K / 3 - 1 = 2019 / 3 - 1 = 672 mm d_{2} = K / 3 = 2019 / 3 = 673 mm d_{3} = K / 3 + 1 = 2019 / 3 + 1 = 674 mm o_{2} = d_{1} + d_{2} + d_{3} = 672 + 673 + 674 = 2019 mm o_{1} = o_{2} = K x_{1} = d_{1} + j_{3} = 672 + 1009 = 1681 K = 2019

Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.

Zobrazujem 1 komentár:

Žiak

ako ste zistili k?

5 rokov Like

Tipy na súvisiace online kalkulačky

Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?
Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc?
Chcete zaokrúhliť číslo?
Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.

Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:

Téma:

matematická olympiáda

Úroveň náročnosti úlohy:

Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1 video2 video3 video4 video5 video6

Súvisiace a podobné príklady: