MO Z9-I-6 2019

Kristýna zvolila jisté liché přirozené číslo dělitelné třemi. Jakub s Davidem pak zkoumali trojúhelníky, které mají obvod v milimetrech roven Kristýnou zvolenému číslu a jejichž strany mají délky v milimetrech vyjádřeny navzájem různými celými čísly.
Jakub našel takový trojúhelník, v němž nejdelší ze stran má největší možnou délku, a tuto hodnotu zapsal na tabuli. David našel takový trojúhelník, v němž nejkratší ze stran má největší možnou délku, a tuto hodnotu také zapsal na tabuli. Kristýna obě délky na tabuli správně sečetla a vyšlo jí 1 681 mm.
Určete, které číslo Kristýna zvolila.

Správná odpověď:

K = 2019

Postup správného řešení:

K = 3 k, k \in N K = a + b + c a < b < c 3 k = a + b + c max = (K - 1) / 2 m i n = 1 K = j_{1} + j_{2} + j_{3} j_{1} < j_{2} < j_{3} j_{1} = 1 \lor j_{1} = 2 j_{2} = (K - 3) / 2 j_{3} = (K - 1) / 2 1 + (K - 3) / 2 + (K - 1) / 2 = K K = d_{1} + d_{2} + d_{3} d_{1} < d_{2} < d_{3} d_{1} = K / 3 - 1 d_{2} = K / 3 + 0 d_{3} = K / 3 + 1 d_{1} + j_{3} = 1681 K / 3 - 1 + (K - 1) / 2 = 1681 3 k / 3 - 1 + (3 k - 1) / 2 = 1681 3 \cdot k / 3 - 1 + (3 \cdot k - 1) / 2 = 1681 15 k = 10095 k = \frac{1 0 0 9 5}{1 5} = 673 k = 673 K = 3 \cdot k = 3 \cdot 673 = 2019 j_{1} = 2 mm j_{2} = (K - 3) / 2 = (2019 - 3) / 2 = 1008 mm j_{3} = (K - 1) / 2 = (2019 - 1) / 2 = 1009 mm o_{1} = j_{1} + j_{2} + j_{3} = 2 + 1008 + 1009 = 2019 mm d_{1} = K / 3 - 1 = 2019 / 3 - 1 = 672 mm d_{2} = K / 3 = 2019 / 3 = 673 mm d_{3} = K / 3 + 1 = 2019 / 3 + 1 = 674 mm o_{2} = d_{1} + d_{2} + d_{3} = 672 + 673 + 674 = 2019 mm o_{1} = o_{2} = K x_{1} = d_{1} + j_{3} = 672 + 1009 = 1681 K = 2019

Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.

Zobrazuji 10 komentářů:

Žák

PROC JE K=3k;k∈N ???????????????

5 let 8 Likes Like

Matematik

je to napsane hned v prvni vete zadani --- liché přirozené číslo dělitelné třemi.... cize cislo 3,6,9 a vylucit delitelne dvoma... spravneby asi malo byt 3+6k; tj . sude vyloucene .

5 let Like

Agáta Křenková

Dobrý den, mohli byste mi to prosím někdo vysvětlit?

5 let Like

Pokemon

Dobrý den, potřeboval bych objasnit jak jste přišel na vyjádření stran u obou trojůhelníků. Pořád se mi na to nedaří přijít

5 let Like

Nějaký Random člověk

K=3k znamená, že ten trojúhelník vytvořený z čísla té Kristýny má 3 strany a k∈N znamená, že každá strana toho trojúhelníku je přirozené číslo takže min. 1.

5 let Like

Pokemon

To chápu, ale jak se přišlo na to že např j2=(k-3)/2

5 let Like

Žák

Dobry den,vůbec nevím,jak se na to přilšlo,mohl byste mi to někdo vysvětlit prosím?Nechápu postup:(

5 let 3 Likes Like

Matematik

obvod j1+j2+j3 = K; nejmensi mozna delka strany je j1=1 nebo j1=2
pre j1=1 nebude mit trojuhelnik celociselne delky zbylych stran (muzete zkusit)

pro j1=2 a obvodu K=2019 je j2 = 1008 a j3 = 1009. Kvuli trojuhelnikove nerovnosti faktu ze ruznostranni trojuhelnik j2<>j3...
to z toho ze j3=j2+1, ak je jedna strana nejemnsi mozna, pak zbyle musi byt nejvice dlouhe, tj. lisici je o 1.
2 + j2 + (j2+1) = K
2j2 = k-3
j2 = (k-3)/2

5 let 1 Like Like

Pokemon

Děkuji mnohokrát

5 let Like

Lxll

Dobrý den, tuto ulohu vubec nechapu, mohl by to nekdo co nejjednoduseji vysvetlit prosim. Predem moc dekujii

5 let 2 Likes Like