Alergia na mačky

Predpokladajme, že pravdepodobnosť alergie na mačky je 1/1000 bežnej populácie. Test na zistenie, či ste alergický na mačky, má falošne pozitívny výsledok 5 %, to znamená, že v 5 % prípadov, kedy test nesprávne ukáže, že ste alergický na mačky. Tiež sa hovorí, že test je 98% presný pre tých, ktorí sú skutočne alergickí.

Ak vezmeme do úvahy náhodného jedinca, ktorý je testovaný na nešťastnú alergiu na mačky, aká je pravdepodobnosť, že ak je táto osoba pozitívna, je skutočne alergická? (Inými slovami, aká je pravdepodobnosť, že osoba je skutočne alergická, ak má pozitívny test?) Roztok zaokrúhlite na najbližšie percentá.

Správna odpoveď:

p =  2 %

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} p_0=\frac{1}{1000}=0,001 \\ f=5\%=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}=0,05 \\ t=98\%=\frac{98}{100}=\frac{49}{50}=0,98 \\ PP=t\cdot p_0=0,98\cdot 0,001=\frac{49}{50000}\doteq 0,001 \\ PN=1-PP=1-0,001\doteq 0,999 \\ NP=f\cdot (1-p_0)=0,05\cdot (1-0,001)\doteq 0,05 \\ NN=1-NP=1-0,05\doteq 0,9501 \\ P=\frac{PP}{PP+NP}=\frac{0,001}{0,001+0,05}=\frac{98}{5093}\doteq 0,0192 \\ p=100\cdot P=100\cdot 0,0192=2\% \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad