Kosoštvorec a vpísaná

Kosoštvorec má stranu a = 6 cm, polomer vpísanej kružnice je r = 2 cm. Vypočítajte dĺžky oboch uhlopriečok.

Správna odpoveď:

u =  11,2101 cm
v =  4,2819 cm

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a=6\text{cm} \\ r=2\text{cm} \\ a=a_1+a_2 \\ {r}^2=a_1{a}_2 \\ {a}_1(a-a_1)=r^2 \\ x(6-x)=2^2 \\ -x^2+6x-4=0 \\ {x}^2-6x+4=0 \\ a=1;b=-6;c=4 \\ D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 4=20 \\ D>0 \\ {x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{6\pm \sqrt{20}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2} \\ {x}_{1,2}=3\pm 2,236068 \\ {x}_1=5,236067977 \\ {x}_2=0,763932023 \\ {a}_1=x_1=5,2361\doteq 5,2361 \\ {a}_2=x_2=0,7639\doteq 0,7639 \\ (u/2{)}^2=a_1^2+r^2 \\ u=2\cdot \sqrt{a_1^2+r^2}=2\cdot \sqrt{5,2361^2+2^2}=11,2101\text{cm} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .

$$\begin{gathered} (v/2{)}^2=a_2^2+r^2 \\ v=2\cdot \sqrt{a_2^2+r^2}=2\cdot \sqrt{0,7639^2+2^2}\doteq 4,2819\text{cm} \\ {r}_2=\sqrt{a_1\cdot a_2}=\sqrt{5,2361\cdot 0,7639}=2 \\ {r}_2=r \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad