Do kužeľa

Do kužeľa je vpísaná guľa (prienik ich hraníc sa skladá z kružnice a jedného bodu). Pomer povrchu gule a obsahu podstavy je 4:3. Rovina, ktorá prechádza osou kužeľa, reže kužeľ v rovnoramennom trojuholníku. Určte veľkosť uhla oproti základni tohto trojuholníka.

Správna odpoveď:

A =  60 °

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} G=1 \\ G:S_1=4:3 \\ {S}_1=\frac{3}{4}\cdot G=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3\cdot 1}{4}=\frac{3}{4}=0,75 \\ {S}_1=\pi r_1^2 \\ {r}_1=\sqrt{S_1/\pi }=\sqrt{0,75/3,1416}\doteq 0,4886 \\ G=4\pi r_2^2 \\ {r}_2=\sqrt{\frac{G}{4\pi }}=\sqrt{\frac{1}{4\cdot 3,1416}}\doteq 0,2821 \\ \mathrm{tg}\alpha =r_2:r_1 \\ \alpha =\mathrm{arctg}(r_2/r_1)=\mathrm{arctg}(0,2821/0,4886)\doteq 0,5236\text{rad} \\ {\alpha }_2=2\cdot \alpha =2\cdot 0,5236\doteq 1,0472\text{rad} \\ A={\alpha }_2\to \text{°}={\alpha }_2\cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=1,0472\cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=60\text{°}=60^{\circ } \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad