Vypočítejte 81138

Gotický čtyřlístek je ornament, ve kterém jsou do větší kružnice vepsány čtyři stejné dotýkající se menší kružnice, jak vidíte na obrázku. Poloměr velké kružnice je jeden metr. Vypočítejte v metrech poloměr menší kružnice.

Správná odpověď:

r =  0,4142 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} R=1\text{m} \\ (r+r{)}^2=(r+x{)}^2+(r+x{)}^2 \\ r+r+x=R \\ r=(R-x)/2 \\ x=R-2r \\ (2r{)}^2=2(r+x{)}^2 \\ (2r{)}^2=2(r+R-2r{)}^2 \\ 4r^2=2(R-r{)}^2 \\ 2r^2=(R-r{)}^2 \\ 2r^2=(1-r{)}^2 \\ {r}^2+2r-1=0 \\ a=1;b=2;c=-1 \\ D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot (-1)=8 \\ D>0 \\ {r}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ {r}_{1,2}=-1\pm 1,414214 \\ {r}_1=0,414213562 \\ {r}_2=-2,414213562 \\ r=r_1=0,4142\doteq 0,4142 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ x=R-2\cdot r=1-2\cdot 0,4142\doteq 0,1716\text{m} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

Zkusit jiný příklad