Heronov dopočet

Dopočítejte chybějící stranu v trojúhelníku se stranami 27 a 40 a obsahem 243.

Správná odpověď:

x1 =  20,0015
x2 =  65,2529

Postup správného řešení:

a=27 b=40 S=243 s=  (a+b+c)/2 S= s(s−a)(s−b)(s−c)  S2 =  (a+b+c)/2⋅ ( (a+b+c)/2−a)⋅ ( (a+b+c)/2−b)⋅ ( (a+b+c)/2−c) 16 S2 =  (a+b+c)⋅ ( (a+b+c)−2a)⋅ ( (a+b+c)−2b)⋅ ( (a+b+c)−2c) 16 S2 =  (a+b+c)⋅ (b+c−a)⋅ (a−b+c)⋅ (a+b−c)  16 S2 = −a4 + 2 a2 b2 − b4 + 2 a2 c2 + 2 b2 c2 − c4  S = a⋅ h2 = a⋅ b⋅ sin⁡ α2  α=arcsin⁡(2⋅ Sa⋅ b)=arcsin⁡(2⋅ 24327⋅ 40)≐0.4668 rad  x1=a2+b2−2⋅ a⋅ b⋅ cos⁡α=272+402−2⋅ 27⋅ 40⋅ cos⁡0.4668≐20.0015   Zkousˇka spraˊvnosti:  s1=a+b+x12=27+40+20.00152≐43.5007 S1=s1⋅ (s1−a)⋅ (s1−b)⋅ (s1−x1)=43.5007⋅ (43.5007−27)⋅ (43.5007−40)⋅ (43.5007−20.0015)=243 S1=Sa = 27 \ \\ b = 40 \ \\ S = 243 \ \\ s = \ \ (a+b+c)/2 \ \\ S = \ \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ \ \\ S^2\ = \ \ (a+b+c)/2 \cdot \ (\ (a+b+c)/2-a) \cdot \ (\ (a+b+c)/2-b) \cdot \ (\ (a+b+c)/2-c) \ \\ 16\ S^2\ = \ \ (a+b+c) \cdot \ (\ (a+b+c)-2a) \cdot \ (\ (a+b+c)-2b) \cdot \ (\ (a+b+c)-2c) \ \\ 16\ S^2\ = \ \ (a+b+c) \cdot \ (b+c-a) \cdot \ (a-b+c) \cdot \ (a+b-c) \ \\ \ \\ 16\ S^2\ = \ -a^4\ +\ 2\ a^2\ b^2\ -\ b^4\ +\ 2\ a^2\ c^2\ +\ 2\ b^2\ c^2\ -\ c^4 \ \\ \ \\ S\ = \ \dfrac{ a \cdot \ h }{ 2 } \ = \ \dfrac{ a \cdot \ b \cdot \ \sin\ α }{ 2 } \ \\ \ \\ α = \arcsin(\dfrac{ 2 \cdot \ S }{ a \cdot \ b } ) = \arcsin(\dfrac{ 2 \cdot \ 243 }{ 27 \cdot \ 40 } ) \doteq 0.4668 \ \text{rad} \ \\ \ \\ x_{1} = \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot \ a \cdot \ b \cdot \ \cos α } = \sqrt{ 27^2+40^2-2 \cdot \ 27 \cdot \ 40 \cdot \ \cos 0.4668 } \doteq 20.0015 \ \\ \ \\ \text{ Zkouška správnosti: } \ \\ s_{1} = \dfrac{ a+b+x_{1} }{ 2 } = \dfrac{ 27+40+20.0015 }{ 2 } \doteq 43.5007 \ \\ S_{1} = \sqrt{ s_{1} \cdot \ (s_{1}-a) \cdot \ (s_{1}-b) \cdot \ (s_{1}-x_{1}) } = \sqrt{ 43.5007 \cdot \ (43.5007-27) \cdot \ (43.5007-40) \cdot \ (43.5007-20.0015) } = 243 \ \\ S_{1} = S
sin⁡ α= sin⁡(π − α)  α2=π−α=3.1416−0.4668≐2.6748 rad  x2=a2+b2−2⋅ a⋅ b⋅ cos⁡(α2)=272+402−2⋅ 27⋅ 40⋅ cos⁡2.6748≐65.2529 s2=a+b+x22=27+40+65.25292≐66.1265 S2=s2⋅ (s2−a)⋅ (s2−b)⋅ (s2−x2)=66.1265⋅ (66.1265−27)⋅ (66.1265−40)⋅ (66.1265−65.2529)=243 S2=S\sin\ α = \ \sin(\pi\ -\ α) \ \\ \ \\ α_{2} = \pi - α = 3.1416 - 0.4668 \doteq 2.6748 \ \text{rad} \ \\ \ \\ x_{2} = \sqrt{ a^2+b^2-2 \cdot \ a \cdot \ b \cdot \ \cos(α_{2}) } = \sqrt{ 27^2+40^2-2 \cdot \ 27 \cdot \ 40 \cdot \ \cos 2.6748 } \doteq 65.2529 \ \\ s_{2} = \dfrac{ a+b+x_{2} }{ 2 } = \dfrac{ 27+40+65.2529 }{ 2 } \doteq 66.1265 \ \\ S_{2} = \sqrt{ s_{2} \cdot \ (s_{2}-a) \cdot \ (s_{2}-b) \cdot \ (s_{2}-x_{2}) } = \sqrt{ 66.1265 \cdot \ (66.1265-27) \cdot \ (66.1265-40) \cdot \ (66.1265-65.2529) } = 243 \ \\ S_{2} = S

Zkusit jiný příklad


Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.



Zobrazuji 1 komentář:
Karolína
Je to dobrá úloha





Tipy na související online kalkulačky
Hledáte pomoc s výpočtem kořenů kvadratické rovnice?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
Pythagorova věta je základ výpočtů kalkulačky pravouhlého trojuholníka.
Kosinovú větu přímo používá kalkulačka SUS trojúhelníku.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.

K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:

Jednotky fyzikálních veličin:

Úroveň náročnosti úkolu:


 
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1   video2

Související a podobné příklady: