Uhlopriečky päťuholníka

Vypočítajte dĺžku uhlopriečky pravidelného päťuholníka:
a) vpísaného do kružnice s polomerom 12 dm;
b) opísaného kruhu s polomerom 12 dm.

Správna odpoveď:

u₁ =  22,8254 dm
u₂ =  28,2137 dm

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} r_1=12\text{cm} \\ A=360/(2\cdot 5)=36{}^{\circ } \\ \sin A=a_1/2:r_1 \\ {a}_1=2\cdot r_1\cdot \sin A=2\cdot r_1\cdot \sin 36°=2\cdot 12\cdot \sin 36°=2\cdot 12\cdot 0,587785=14,10685\text{cm} \\ {u}_1=a_1/2\cdot (1+\sqrt{5})=14,1068/2\cdot (1+\sqrt{5})=22,8254\text{dm} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} r_2=12\text{cm} \\ \mathrm{tg}A=a_2/2:r_2 \\ {a}_2=2\cdot r_2\cdot \mathrm{tg}A=2\cdot r_2\cdot \mathrm{tg}36°=2\cdot 12\cdot \mathrm{tg}36°=2\cdot 12\cdot 0,726543=17,43702\text{cm} \\ {u}_2=a_2/2\cdot (1+\sqrt{5})=17,437/2\cdot (1+\sqrt{5})=28,2137\text{dm} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad