Automobilov 5756

Trasa zo Zlína do Liberca cez Olomouc a Hradec Králové meria s = 300 km.
a) Pán Horák vyšiel zo Zlína v čase tH = 16:00 h s nákladným automobilom priemernou rýchlosťou vH = 40 km/h.
V čase tN = 17:30 h za ním vyšiel pán Novák osobným automobilom s priemernou rýchlosťou vN = 55 km/h. Ako ďaleko od Zlína sa stretli? Blízko ktorého väčšieho mesta to bolo?
c) Súčasne s pánom Horákom vyšiel v čase 16:00 h opačným smerom po trase z Liberca do Zlína pán Skalák a so svojim vozidlom sa pohyboval priemernou rýchlosťou 50 km/h. Kedy a ako ďaleko od Liberca sa stretol s pánom Horákom?
d) Nakreslite do jedného grafu pohyb všetkých troch automobilov v závislosti od času a z grafu odčítajte časy aj miesta stretnutia z častí a) a d). Kto dôjde do cieľa najskôr?

Správna odpoveď:

a =  161,0526 km
b =  166,6667 km

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} s=300\text{km} \\ {t}_1=16,00\text{h} \\ {v}_1=40\text{km/h} \\ {t}_2=17,50\text{h} \\ {t}_{11}=t_2-t_1=17,5-16=\frac{3}{2}=1,5\text{h} \\ {v}_2=55\text{km/h} \\ {s}_1+s_2=s \\ {v}_1\cdot t+v_2\cdot (t-t_{11})=s=300 \\ t=(s+v_2\cdot t_{11})/(v_1+v_2)=(300+55\cdot 1,5)/(40+55)=\frac{153}{38}\doteq 4,0263\text{h} \\ {s}_1=v_1\cdot t=40\cdot 4,0263=\frac{3060}{19}\doteq 161,0526\text{km} \\ {s}_2=s-s_1=300-161,0526=\frac{2640}{19}\doteq 138,9474\text{km} \\ a=s_1=161,0526=161,0526\text{km} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} v_3=50\text{km/h} \\ {s}_3+s_4=s \\ {v}_1\cdot t_3+v_3\cdot t_3=s \\ {t}_3=s/(v_1+v_3)=300/(40+50)=\frac{10}{3}\doteq 3,3333\text{h} \\ {s}_3=v_1\cdot t_3=40\cdot 3,3333=\frac{400}{3}\doteq 133,3333\text{km} \\ {s}_4=v_3\cdot t_3=50\cdot 3,3333=\frac{500}{3}\doteq 166,6667\text{km} \\ b=s_4=166,6667=166,6667\text{km} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad