MO Z6 I-3 2017 fľaše

Jano mal 100 rovnakých zaváracích fliaš, z ktorých si staval trojboké pyramídy. Najvyššie poschodie pyramídy má vždy jednu fľašu, druhé poschodie zhora predstavuje rovnostranný trojuholník, ktorého strana pozostáva z dvoch fliaš, atď. Príklad konštrukcie trojposchodovej pyramídy je na obrázku.


1. Koľko fliaš Jano potreboval na päťposchodovú pyramídu?
2. Koľko poschodí mala pyramída, na ktorú bolo použitých čo najviac Janových fliaš?

Správna odpoveď:

a =  35
b =  7

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a_1=1 \\ {a}_2=2+1=3 \\ {a}_3=3+2+1=6 \\ {a}_4=4+3+2+1=10 \\ {a}_5=5+4+3+2+1=15 \\ a=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+3+6+10+15=35 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a_6=6+a_5=6+15=21 \\ {s}_6=a+a_6=35+21=56 \\ {a}_7=7+a_6=7+21=28 \\ {s}_7=s_6+a_7=56+28=84 \\ {a}_8=8+a_7=8+28=36 \\ {s}_8=s_7+a_8=84+36=120 \\ {s}_7<100 \\ b=7 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad