Rotačné telesá

Rotačný kužeľ a rotačný valec majú rovnaký objem 180 cm³ a rovnakú výšku v = 15cm. Ktoré z týchto dvoch telies má väčší povrch?

Správna odpoveď:

S₁ =  199,5 cm²
S₂ =  208,2 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} V=180{\text{cm}}^3 \\ h=15\text{cm} \\ V=\pi r^{2}h/3 \\ {r}_1=\sqrt{3\cdot V/\pi /h}=\sqrt{3\cdot 180/3,1416/15}\doteq 3,3851\text{cm} \\ s=\sqrt{h^2+r_1^2}=\sqrt{15^2+3,3851^2}\doteq 15,3772\text{cm} \\ {S}_1=\pi \cdot r_1^2+\pi \cdot r_1\cdot s=3,1416\cdot 3,3851^2+3,1416\cdot 3,3851\cdot 15,3772=199,5{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} V=\pi r^{2}h \\ {r}_2=\sqrt{V/\pi /h}=\sqrt{180/3,1416/15}\doteq 1,9544\text{cm} \\ {S}_2=2\pi \cdot r_2^2+2\pi \cdot r_2\cdot h=2\cdot 3,1416\cdot 1,9544^2+2\cdot 3,1416\cdot 1,9544\cdot 15\doteq 208,1988{\text{cm}}^2 \\ {S}_2>S_1 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad