Z9 – I – 5 MO 2018

Adam a Eva vytvářeli dekorace z navzájem shodných bílých kruhů. Adam použil čtyři kruhy, které sestavil tak, že se každý dotýkal dvou jiných kruhů. Mezi ně pak vložil jiný kruh, který se dotýkal všech čtyř bílých kruhů, a ten vybarvil červeně. Eva použila
tři kruhy, které sestavila tak, že se dotýkaly navzájem. Mezi ně pak vložila jiný kruh, který se dotýkal všech tří bílých kruhů, a ten vybarvila zeleně.

Eva si všimla, že její zelený kruh a Adamův červený kruh jsou různě velké, a začali společně zjišťovat, jak se liší.

Vyjádřete poloměry červeného a zeleného kruhu obecně pomocí poloměru bílých kruhů.

Správná odpověď:

r₁ = (sqrt(2)-1) * r
r₂ = r( fr(2,3) * sqrt(3) - 1)

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} (2r{)}^2+(2r{)}^2=(r+2r_1+r{)}^2 \\ 4r^2+4r^2=(2r+2r_1{)}^2 \\ 8r^2=(2r+2r_1{)}^2 \\ r\sqrt{8}=2r+2r_1 \\ {r}_1=(\sqrt{2}-1)\cdot r \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a=2r \\ h=\sqrt{3}/2\cdot a=\sqrt{3}\cdot r \\ 2/3h=r+r_2 \\ {r}_2=2/3\sqrt{3}\cdot r-r \\ {r}_2=r(\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3}-1) \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad