Koza

Ťažký príklad - nelineárna rovnica:

Aby sme určili dĺžku povrazu potrebnú na uviazanie kozy ku kolíku na obvode kruhovej lúky tak, aby spásla len polovicu lúky, môžeme postupovať podľa nasledujúcich krokov:

1. Základné informácie:
  - Polomer lúky: r = 39 metrov.
  - Plocha lúky: A_{lúka} = π r² = π × 39² = 1521π m².
  - Požadovaná plocha spásania: A_{spásanie} = 12 A_{lúka} = 1521π2 = 760.5π m².

2. Analýza problému:
  - Keď je koza uviazaná na obvode lúky, oblasť, ktorú môže spásať, je kruhovým výsekom.
  - Potrebujeme nájsť dĺžku povrazu L tak, aby plocha tohto výseku bola 760.5π m².

3. Vzťah medzi dĺžkou povrazu a plochou výseku:
  - Plocha kruhového výseku je daná vzťahom:
   
    kde θ je uhol v radiánoch.
  - V našom prípade je polomer výseku L a plocha A = 760.5π .

4. Riešenie rovnice:
  - Nastavíme rovnicu:
   
  - Táto rovnica je transcendentná a nemá analytické riešenie, preto musíme použiť numerické metódy na jej riešenie.

5. Numerické riešenie:
  - Použitím numerických metód (napr. Newtonova metóda) zistíme, že pre A = 760.5π a r = 39 metrov je potrebná dĺžka povrazu približne L ≈ 55.5 metrov.

Záverečná odpoveď:

Dĺžka povrazu potrebná na uviazanie kozy ku kolíku na obvode lúky tak, aby spásla len polovicu lúky, je približne 55.5 metrov.