Koza - kruhy

Aký je polomer kružnice, ktorá má stred na inej kružnici a prienik oboch kruhov je rovný polovici plochy prvej kružnice?

Táto úloha je matematickým vyjadrením úlohy z poľnohospodárstva. Sedliak má kruhový pozemok, na ktorom sa pasie koza. Pretože sedliak chce, aby jej tráva na pozemku vystačila na dva dni, uviaže ju ku kolu na okraji pozemku tak dlhým povrazom, aby za prvý deň spásla polovicu trávy. Druhý deň jej nechá k dispozícii celý pozemok, kde môžete spásť zvyšnú trávu.

Správna odpoveď:

p =  116,9 %

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} S_1+S_2=\frac{1}{2}S \\ S=\pi r^2 \\ {S}_1=\frac{1}{2}{x}^2(\alpha -\sin \alpha ) \\ {S}_2=\frac{1}{2}{r}^2((2\pi -2\alpha )-\sin (2\pi -2\alpha )) \\ x=2r\cos (\alpha /2) \\ \alpha =\tan \alpha -\frac{\pi }{2\cos \alpha } \\ {\alpha }_1=1,9056957293099=66°23^{\prime }25" \\ {p}_1=x/r=1,1587284730181=115,87\% \\ {\alpha }_2=4,0903294575997=-52°20^{\prime }34" \\ {p}_2=x/r=-0,91355336099303=-91,36\% \\ {\alpha }_3=7,9263876105649=-78°2^{\prime }33" \\ {p}_3=x/r=-1,3620993158089=-136,21\% \\ {\alpha }_4=10,756961303274=70°48^{\prime }29" \\ {p}_4=x/r=1,235835638602=123,58\% \\ {\alpha }_5=-11,0473869356=83°6^{\prime }1" \\ {p}_5=x/r=1,4503719997774=145,04\% \\ {\alpha }_6=-7,5128894066161=-93°36^{\prime }18" \\ {p}_6=x/r=-1,6337175982743=-163,37\% \\ {\alpha }_7=-4,8322830401789=-85°44^{\prime }15" \\ {p}_7=x/r=-1,49640036639=-149,64\% \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad