Tři členy GP

Součet tří čísel v GP (geometrické posloupnosti) je 21 a součet jejich čtverců je 189. Najděte tato čísla.

Správná odpověď:

a =  3
b =  6
c =  12
a₂ =  12
b₂ =  6
c₂ =  3

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a+b+c=21 \\ {a}^2+b^2+c^2=189 \\ b=qa \\ c=q^{2}a \\ a+qa+q^{2}a=21 \\ {a}^2+q^2{a}^2+q^4{a}^2=189 \\ a(1+q+q^2)=21 \\ {a}^2(1+q^2+q^4)=189 \\ 21^2(1+q^2+q^4)=189(1+q+q^2{)}^2 \\ 252q^4-378q^3-126q^2-378q+252=0 \\ {q}^4+q^2+1=(q^2-q+1)\cdot (q^2+q+1) \\ 21^2(q^2-q+1)\cdot (q^2+q+1)=189(1+q+q^2{)}^2 \\ 21^2(q^2-q+1)=189(1+q+q^2) \\ 21^2(q^2-q+1)=189(1+q+q^2) \\ 252q^2-630q+252=0 \\ 252=2^2\cdot 3^2\cdot 7 \\ 630=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 \\ \text{NSD}(252,630,252)=2\cdot 3^2\cdot 7=126 \\ 2q^2-5q+2=0 \\ a=2;b=-5;c=2 \\ D=b^2-4ac=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9 \\ D>0 \\ {q}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4} \\ {q}_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4} \\ {q}_{1,2}=1,25\pm 0,75 \\ {q}_1=2 \\ {q}_2=0,5 \\ a=21/(1+q_1+q_1^2)=21/(1+2+2^2)=3 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$b=q_1\cdot a=2\cdot 3=6$

$c=q_1\cdot b=2\cdot 6=12$

$a_2=21/(1+q_2+q_2^2)=21/(1+0,5+0,5^2)=12$

$b_2=q_2\cdot a_2=0,5\cdot 12=6$

$c_2=q_2\cdot b_2=0,5\cdot 6=3$

Zkusit jiný příklad