Pozorovací 84353

Pozorovací úhel vrcholu věže od bodu A na zemi je 30°. Při přesunu na vzdálenost 20 m směrem k patě věže do bodu B se pozorovací úhel zvětší na 60°. Najděte výšku věže a vzdálenost věže od místa A .

Správná odpověď:

h =  17,3 m
x =  10 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} \alpha =30{}^{\circ } \\ \beta =60{}^{\circ } \\ a=20\text{m} \\ \mathrm{tg}\beta =h:x=h/x \\ \mathrm{tg}\alpha =h:(x+a)=h/(x+a) \\ x=h/\mathrm{tg}\beta =h/t_1 \\ {t}_1=\mathrm{tg}\beta =\mathrm{tg}60°=1,732051=1,73205 \\ {t}_2=\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}30°=0,57735 \\ {t}_2\cdot (h/t_1+a)=h \\ {t}_2\cdot h/t_1+a\cdot t_2=h \\ h=\frac{a\cdot t_1\cdot t_2}{t_1-t_2}=\frac{20\cdot 1,7321\cdot 0,5774}{1,7321-0,5774}=10\sqrt{3}\doteq 17,3205\text{m} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ x=h/t_1=17,3205/1,7321=10\text{m} \\ {\alpha }_2=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{h}{x+a})=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{17,3205}{10+20})=30{}^{\circ } \\ {\beta }_2=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{h}{x})=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{17,3205}{10})=60{}^{\circ } \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad