Nejlevnější 7976

V rekreační oblasti se má postavit bazén ve tvaru kvádru o objemu 200m³. Jeho délka má být 4-násobkem šířky, přičemž cena 1 m² dna bazénu je 2-krát levnější než 1 m² stěny bazénu. Jaké rozměry musí mít bazén, aby stavba byla nejlevnější?

Správná odpověď:

a =  20 m
b =  5 m
c =  2 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} V=200{\text{m}}^3 \\ a=4b \\ p=ab/2+2(a+b)\cdot c \\ V=abc \\ 200=4b^{2}c \\ c=50/b^2 \\ p=4b^2/2+2(4b+b)\cdot 50/b^2 \\ p=2b^2+500b/b^2 \\ p=2b^2+500/b \\ {p}^{\prime }=4b-500/b^2 \\ {p}^{\prime }=0 \\ 4b^3=500 \\ b=\sqrt[3]{500/4}=5\text{m} \\ a=4\cdot b=4\cdot 5=20\text{m} \end{gathered}$$

$b=5=5\text{m}$

$c=50/b^2=50/5^2=2\text{m}$

Zkusit jiný příklad