Cukrářka 2

Cukrářka potřebuje z cukrářské hmoty ve tvaru koule o poloměru 25cm vyřezat ozdobu ve tvaru kužele. Určete poloměr podstavy ozdoby a (a výšku h) tak, aby se na výrobu ozdoby použilo co nejvíce hmoty.

Správná odpověď:

r =  23,57 cm
h =  33,33 cm
V =  19392,55 cm³

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} G=25cm \\ V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ h=G+x=25+x \\ {G}^2=x^2+r^2 \\ {r}^2=G^2-x^2 \\ V=\frac{1}{3}\pi (G^2-x^2)(G+x) \\ V=\frac{1}{3}\pi (G^3-G^{2}x-G{x}^2-x^3) \\ {V}^{\prime }=\frac{1}{3}\pi (G^2-2Gx-3x^2) \\ {V}^{\prime }=0 \\ {G}^2-2Gx-3x^2=0 \\ -3x^2-50x+625=0 \\ 3x^2+50x-625=0 \\ a=3;b=50;c=-625 \\ D=b^2-4ac=50^2-4\cdot 3\cdot (-625)=10000 \\ D>0 \\ {x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-50\pm \sqrt{10000}}{6} \\ {x}_{1,2}=\frac{-50\pm 100}{6} \\ {x}_{1,2}=-8,333333\pm 16,666667 \\ {x}_1=8,333333333 \\ {x}_2=-25 \\ \text{ Soucinovy tvar rovnice: } \\ 3(x-8,333333333)(x+25)=0 \\ h=G+x_1=25+8,3333333333333=33,333333333333cm \\ r=\sqrt{G^2-x_1^2}=23,57\text{cm} \end{gathered}$$

$h=25+8,3333333333333=33,33\text{cm}$

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=19392,55{\text{cm}}^3$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

Zkusit jiný příklad