Těžnice a střed

Bod S je střed přepony AB pravoúhlého trojúhelníku ABC. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, je-li těžnice na přeponu dlouhá 0,2 dm a platí-li |∢ACS| = 30°.

Správná odpověď:

S = 3,4641 cm²

Postup správného řešení:

t = 0, 2 dm \to cm = 0, 2 \cdot 10 cm = 2 cm ∠ A C S = 30^{\circ} ∠ S C B = 90 - ∠ A C S = 90 - 30 = 60^{\circ} \frac{sin A C S}{sin α} = \frac{c / 2}{t} \frac{sin S C B}{sin β} = \frac{c / 2}{t} β = 90 ° - α \frac{sin A C S}{sin α} = \frac{sin S C B}{sin ( 9 0 ° - α )} sin A C S \cdot sin (90 ° - α) = sin S C B \cdot sin α sin (α - β) = sin α, cos β - cos α, sin β sin A C S \cdot (sin 90 ° cos α - cos 90 ° sin α) = sin S C B \cdot sin α sin A C S \cdot cos α = sin S C B \cdot sin α sin A C S / sin S C B = sin α / cos α t g α = sin A C S / sin S C B α = \frac{1 8 0 °}{π} \cdot arct g (sin A C S / sin S C B) = \frac{1 8 0 °}{π} \cdot arct g (sin 30 ° / sin 60 °) = \frac{1 8 0 °}{π} \cdot arct g (0, 5 / 0, 866025) = 30 β = 90 - α = 90 - 30 = 60^{\circ} c = 2 \cdot t \cdot \frac{sin A C S}{sin α} = 2 \cdot t \cdot \frac{sin 3 0 °}{sin 3 0 °} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{sin 3 0 °}{sin 3 0 °} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{0 , 5}{0 , 5} = 4 cm a = c \cdot sin α = c \cdot sin 30 ° = 4 \cdot sin 30 ° = 4 \cdot 0, 5 = 2 cm b = c \cdot sin β = c \cdot sin 60 ° = 4 \cdot sin 60 ° = 4 \cdot 0, 866025 = 3, 4641 cm S = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 4 6 4 1}{2} = 23 = 3, 4641 cm^{2}

Vyzkoušejte výpočet přes naší kalkulačku trojúhelníků.

Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.

Zobrazuji 1 komentář:

Ucitel

Pri vhodnom nakreslenom obrázku šikovnejší žiak vidí, že v pravouhlom trojuholníku ide ťažnica do stredu opísanej (Thalesovej) kružnice, je jej polomerom ako aj oba úseky prepony, ktorá má teda 4cm. Trojuholník ASC je rovnoramenný a aj alfa je 30 stupnov. Uhly BCS a CSB sú teda po 60 stupňov, trojuholník SBC je rovnostranný so stranou 2cm a výškou odmocnina z troch. Plocha trojuholníka ABC je polzákladňa krát výška teda 2*odmocnina z troch. Pri kvalitnom obrázku uvedený výpočet vôbec nie je potrebný, lebo šikovnejší žiak povie výsledok priamo bez počítania. Pomáhajte žiakom nielen počítať, ale aj byť šikovnejšími. Budú Vám vďační (možno).

1 rok Like