Řezy kužele

Kužel s poloměrem podstavy 11 cm a výškou 11 cm rozdělíme rovinami rovnoběžnými s podstavou na tři tělesa. Roviny rozdělí výšku kužele na tři stejné části. Určete poměr objemů největšího a nejmenšího vzniklého tělesa.

Správná odpověď:

p =  19

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} r=11 \\ v=11 \\ {V}_1=\frac{1}{3}\pi (r/3{)}^2(v/3)=51,623 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\pi (2r/3{)}^2(2v/3)=412,984 \\ {V}_3=\frac{1}{3}\pi (r{)}^{2}v=1393,82 \\ p=\frac{V_3-V_2}{V_1}=\frac{1393,82-412,984}{51,623}=19 \\ p=\frac{V_3-V_2}{V_1}= \\ p=\frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}v-\frac{1}{3}\pi (2r/3{)}^2(2v/3)}{\frac{1}{3}\pi (r/3{)}^2(v/3)} \\ p=\frac{r^{2}v-(2r/3{)}^2(2v/3)}{(r/3{)}^2(v/3)} \\ p=\frac{r^2-(2r/3{)}^2(2/3)}{(r/3{)}^2\cdot (1/3)} \\ p=\frac{1-(2/3{)}^2(2/3)}{(1/3{)}^2/3} \\ p=\frac{1-(2/3{)}^2(2/3)}{(1/3{)}^2/3} \\ p=\frac{19/27}{1/27} \\ p=\frac{19/27}{1/27} \\ p=19=19:1 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad