MO 2019 Z5–I–3 Dukáty

Pán kráľ rozdával svojim synom dukáty. Najstaršiemu synovi dal určitý počet dukátov, mladšiemu dal o jeden dukát menej, ďalšiemu dal opäť o jeden dukát menej a takto postupoval až k najmladšiemu. Potom sa vrátil k najstaršiemu synovi, dal mu
o jeden dukát menej ako pred chvíľou najmladšiemu a rovnakým spôsobom ako v prvom kole rozdával ďalej. V tomto kole vyšiel na najmladšieho syna jeden dukát. Najstarší syn dostal celkom 21 dukátov.

Určte, koľko mal kráľ synov a koľko im celkom rozdal dukátov.

Správna odpoveď:

n =  7
s =  105

Postup správneho riešenia:

n+2n=21  n+2⋅ n=21  3n=21  n=321​=7  n=7
a1​=7+14=21 a2​=6+13=19 a3​=5+12=17 a4​=4+11=15 a5​=3+10=13 a6​=2+9=11 a7​=1+8=9  s=a1​+a2​+a3​+a4​+a5​+a6​+a7​=21+19+17+15+13+11+9=105

Skúsiť iný príklad


Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.



Zobrazujem 9 komentárov:
Linda
aj tak tomu nerozumiem, čo je "n" a čo je "s". Ak má sedem synov, tak to predsa nevychádza. Či?!
Nemôžete mi to nakresliť koľko dostal v ktorom kole dukátov a koľko bolo vlastne tých kôl?

5 rokov  2 Likes
Linda
podľa zadania vychádza, že boli tri kolá. A na konci tretieho kola má mať SPOLU 21 dukátov. Podľa vášho riešenia mi to nevychádza. Alebo ako to vlastne je.

Dr Math
no vidite; kola boli len dve (nepise sa v zadani ze viacej bolo)... princov bolo 7. Prvy dostal 14+7 = 21 ... dalsi 13+6 = 19 atd...

Linda
a ako vlastne prídem na to, že mal sedem synov. Ja som síce počítala 21/3, ale neviem prečo ma napadla tá trojka.

Dr Math
skuste ist na to odzadu... n-ty dostane 1 dukat, (n-1) syn 2 dukaty ( vsimnite si ze sucet poradia a poctu dokatov je vzdy n+1)... az prvy syn n-dukatov. ak ideme este dozadu o kolo tak prvy syn dostane v predoslom kole 2n dukatov, este v dalsom 3n dukatov atd. tj. kazdym kolom o n dukatov viacej by dostal.

cize 1+2 druhe kolo rozdavania dukatov 2n+n = 3n = 21 dukatov. Rovnicu vyriesime a mame n=7

Keby rozdava 3 kola, tak prvy dostane 42 dukatov = 7+14+21(to je len ukazka)

5 rokov  1 Like
Žiak
Veľká vďaka ????

Linda
Takže jednoducho iba postupne skúšať s koľkými synmi to výjde. Lebo rovnice sme sa ešte neučili.

Dr Math
ale rovnicu n+2n = 21 snad aj v stvrrtej triede date...

Matematik
A mame tu oficialne riesenie  - konstatujem ze sme sa nepomylili:

Nápad. Koľko dukátov by dostal najstarší syn, ak by kráľ rovnakým spôsobom rozdával napr. štyrom synom?

Riešenie. Pre konkrétny počet synov si možno kráľov spôsob rozdávania dukátov názorne vyskúšať. Stačí postupovať odzadu: najmladší v druhom kole dostal jeden dukát, druhý najmladší dva dukáty atď. Napr. pre dvoch, troch, resp. štyroch synov by
počty dukátov v jednotlivých kolách vyzerali nasledovne (zoradené zhora nadol podľa kôl, zľava doprava podľa veku):
4 3
2 1
6 5 4
3 2 1
8 7 6 5
4 3 2 1

Najstarší syn by v prvom prípade dostal 6, v druhom prípade 9, resp. v treťom prípade 12 dukátov. Týmto spôsobom možno postupne nájsť situáciu, keď najstarší syn dostal 21 dukátov:
14 13 12 11 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1

Teda kráľ mal 7 synov a celkom im rozdal 105 dukátov.

Poznámky. Namiesto skúšania si možno všimnúť, že zo zadania vyplýva nasledujúce:

najstarší syn v druhom kole dostane práve toľko dukátov, koľko je synov, a v prvom kole dvojnásobok, celkom teda trojnásobok počtu synov. Aby tento počet bol rovný 21, musí byť 7 synov a celkový počet dukátov 1 + 2 + · · · + 14 = 105.

Súčet rozdaných dukátov možno určiť rôzne, napr. nasledujúcou skratkou:
(1 + 14) + (2 + 13) + · · · + (7 + 8) = 7 · 15 = 105.





Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:

Jednotky fyzikálnych veličín:

Téma:

Úroveň náročnosti úlohy:

Súvisiace a podobné príklady: