MO C-I-3 2019

Určete všechny dvojice přirozených čísel A a B, pro které platí, že součet dvojnásobku nejmenšího společného násobku a trojnásobku největšího společného dělitele přirozených čísel A a B je roven jejich součinu.

Správná odpověď:

a₁ =  5
b₁ =  5
a₂ =  9
b₂ =  3

Postup správného řešení:

2 NSN(a,b) + 3 NSD(a,b) = ab  a1​=5 b1​=5  5 ...  prvocˇıˊslo NSD(5,5)=5  5 ...  prvocˇıˊslo NSN(5,5)=5  l1​=2⋅ NSN(a1​,b1​)+3⋅ NSD(a1​,b1​)=2⋅ NSN(5,5)+3⋅ NSD(5,5)=25 r1​=5⋅ 5=25

$b_1=5$

2 NSN(a,b) + 3 NSD(a,b) = ab  a2​=9 b2​=3  9=32 3 ...  prvocˇıˊslo NSD(9,3)=3  9=32 3 ...  prvocˇıˊslo NSN(9,3)=32=9  l2​=2⋅ NSN(a2​,b2​)+3⋅ NSD(a2​,b2​)=2⋅ NSN(9,3)+3⋅ NSD(9,3)=27 r2​=9⋅ 3=27

$b_2=3$

Zkusit jiný příklad