Dvě babky

Dvě babky šly prodat vajíčka na trh, dohromady jich měly 100. Když prodaly všechna vajíčka, utržily stejně peněz. První babka říká druhé: „Kdybych prodala svoje vajíčka za tvojí cenu, utržila bych 15 korun“. Druhá babka odpoví: „Kdybych já prodala svoje vajíčka za tvojí cenu, utržila bych 6 a 2/3 koruny“. Kolik vajíček měla každá z babek? Pokuste se najít výsledek bez řešení složité kvadratické rovnice.

Správná odpověď:

a =  60
b =  40

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a+b=100 \\ a\cdot c_1=b\cdot c_2 \\ a\cdot c_2=15 \\ b\cdot c_1=6+2/3=\frac{20}{3}=6,666666 \\ a\cdot c_1=(100-a)\cdot c_2 \\ a\cdot c_2=15 \\ (100-a)\cdot c_1=6+2/3 \\ {c}_2=15/a \\ a\cdot c_1=(100-a)\cdot (15/a) \\ (100-a)\cdot c_1=6+2/3 \\ {c}_1=(100-a)\cdot (15/a)/a \\ (100-a)\cdot (100-a)\cdot (15/a)/a=6+2/3 \\ (100-a)\cdot (100-a)\cdot 15=a^2\cdot (6+2/3) \\ 3\cdot (100-a)\cdot (100-a)\cdot 15=a^2\cdot (6\cdot 3+2) \\ 3\cdot (100-a)\cdot (100-a)\cdot 15=a^2\cdot (6\cdot 3+2) \\ 25a^2-9000a+450000=0 \\ 25=5^2 \\ 9000=2^3\cdot 3^2\cdot 5^3 \\ 450000=2^4\cdot 3^2\cdot 5^5 \\ \text{NSD}(25,9000,450000)=5^2=25 \\ {a}^2-360a+18000=0 \\ p=1;q=-360;r=18000 \\ D=q^2-4pr=360^2-4\cdot 1\cdot 18000=57600 \\ D>0 \\ {a}_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}=\frac{360\pm \sqrt{57600}}{2} \\ {a}_{1,2}=\frac{360\pm 240}{2} \\ {a}_{1,2}=180\pm 120 \\ {a}_1=300 \\ {a}_2=60 \\ 0<a<100 \\ a=a_2=60 \\ {c}_1=(100-a)\cdot (15/a)/a=(100-60)\cdot (15/60)/60=\frac{1}{6}\doteq 0,1667 \\ {c}_2=15/a=15/60=\frac{1}{4}=0,25 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$$\begin{gathered} b=100-a=100-60=40 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {L}_1=a\cdot c_1=60\cdot 0,1667=10 \\ {P}_1=b\cdot c_2=40\cdot 0,25=10 \\ {L}_1=P_1 \\ {L}_2=a\cdot c_2=60\cdot 0,25=15 \\ {P}_2=b\cdot c_1=40\cdot 0,1667=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\doteq 6,6667 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad