MO Z7–I–3 2019

Roman má rád kouzla a matematiku. Naposled kouzlil s trojmístnými nebo čtyřmístnými čísly takto:
• z daného čísla vytvořil dvě nová čísla tak, že ho rozdělil mezi číslicemi na místě stovek a desítek (např. Z čísla 581 by dostal 5 a 81),
• nová čísla sečetl a zapsal výsledek (v uvedeném příkladu by dostal 86),
• od většího z nových čísel odečetl menší a výsledek zapsal za předchozí součet, čímž vykouzlil výsledné číslo (v uvedeném příkladu by dostal 8676).

Z kterých čísel mohl Roman vykouzlit
a) 171,
b) 1513? Určete všechny možnosti.

Jaké největší číslo lze takto vykouzlit a z kterých čísel může vzniknout? Určete všechny

Správná odpověď:

x₁ =  114
x₂ =  809
x₃ =  908
x₄ =  1401
x₅ =  7477
x₆ =  7774
x₇ =  18810

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} x_1=114 \\ {p}_{11}=1 \\ {p}_{21}=14 \\ {s}_1=p_{11}+p_{21}=1+14=15 \\ o=|p_{11}-p_{21}|=|1-14|=13 \\ {c}_1=1513 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_2=809 \\ {p}_{12}=8 \\ {p}_{22}=9 \\ {s}_2=p_{12}+p_{22}=8+9=17 \\ o=|p_{12}-p_{22}|=|8-9|=1 \\ {c}_2=171 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_3=908 \\ {p}_{13}=9 \\ {p}_{23}=8 \\ {s}_3=p_{13}+p_{23}=9+8=17 \\ o=|p_{13}-p_{23}|=|9-8|=1 \\ {c}_3=171 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_4=1401 \\ {p}_{14}=14 \\ {p}_{24}=1 \\ {s}_4=p_{14}+p_{24}=14+1=15 \\ o=|p_{14}-p_{24}|=|14-1|=13 \\ {c}_4=1513 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_5=7477 \\ {p}_{15}=74 \\ {p}_{25}=77 \\ {s}_5=p_{15}+p_{25}=74+77=151 \\ o=|p_{15}-p_{25}|=|74-77|=3 \\ {c}_5=1513 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_6=7774 \\ {p}_{16}=77 \\ {p}_{26}=74 \\ {s}_6=p_{16}+p_{26}=77+74=151 \\ o=|p_{16}-p_{26}|=|77-74|=3 \\ {c}_6=1513 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x_7=18810 \\ c=\{8999,9989\} \\ {p}_{17}=8999 \\ {p}_{27}=9989 \\ {s}_7=p_{17}+p_{27}=8999+9989=18988 \\ o=|p_{17}-p_{27}|=|8999-9989|=990 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad