Betka

Nápověda. Zvažujte postupně možnosti, kdy je myšlené číslo jednomístné, dvojmístné atd. V jednotlivých případech přemýšlejte postupně nad možnými součty na místě jednotek, desítek atd.

Možné řešení. Nejprve najdeme Bětčino číslo, tj. nejmenší číslo s uvedenými vlastnostmi.
1) Předpokládejme, že Bětčino číslo je jednomístné, a označíme si je a. Potom by podle zadání muselo platit a + a = a, což platí pouze když a = 0. Nula však není přirozené číslo, takže Bětčino myšlené číslo nemůže být jednomístné.
2) Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné. Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být dvojmístné.
3) Předpokládejme, že Bětčino číslo je trojmístné, a označíme si je abc. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a c nuly, tedy v součtu abc+cba se na místě jednotek může objevit jedině b:

a b c
c b a
____
∗ ∗ b

Současně c + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abc + cba nebyl trojmístný. Odtud se dozvídáme, že

a + c = b

což mimo jiné znamená, že ani číslice b nemůže být 0. Odtud plyne, že součet b + b na místě desítek nemůže být menší než 10; v takovém případě by tento součet byl roven jednomu z čísel a, b, c, což vždy vede k nějakému sporu s předchozími poznatky:

Pokud b + b = a nebo b + b = c, potom podle (1) dostáváme 2a + 2c = a nebo 2a + 2c = c, tedy a = −2c nebo c = −2a, což není možné.
• Pokud b + b = b, potom b = 0, což není možné.
Součet b + b na místě desítek však nemůže být ani větší než 9. V takovém případě by součet na místě stovek byl a + c + 1 a toto číslo má být rovno jednomu z čísel a, b, c; to vždy vede k nějakému sporu:
• Pokud a + c + 1 = a nebo a + c + 1 = c, potom c = −1 nebo a = −1, což není možné.
• Pokud a+c+ 1 = b, potom podle (1) dostáváme b+ 1 = b, tedy 1 = 0, což není možné.

Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být ani trojmístné.

4) Předpokládejme, že Bětčino číslo je čtyřmístné, a označíme si je abcd. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a d nuly, tedy v součtu abcd + dcba se na místě jednotek může objevit buď b, nebo c:

a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ b

a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ c

Současně d + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abcd + dcba nebyl čtyřmístný. Odtud se dozvídáme, že
buď a + d = b, (dale jen 2)
nebo a + d = c. (dale jen 3)

To mimo jiné znamená, že buď b <> 0, nebo c <> 0.
Nyní předpokládáme, že součet c+b na místě desítek je menší než 10, tzn. tento součet je roven jednomu z čísel a, b, c, d, a prozkoumáme jednotlivé případy. Nejprve uvažujme platnost (2), a tedy b <> 0:

• Pokud b + c = a nebo b + c = d, potom podle (2) dostáváme a + d + c = a nebo a + d + c = d, tedy c = −d nebo c = −a, což není možné.
• Pokud b + c = b, potom c = 0 (což ničemu nevadí).
• Pokud b + c = c, potom b = 0, což není možné.
Podobně, za předpokladu (3) zjistíme, že jediná přípustná možnost je
• b + c = c, tedy b = 0

Celkem tak objevujeme dva možné případy:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b

a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c

Protože Bětčino číslo je nejmenší číslo vyhovující všem uvedeným podmínkám, vůbec se nemusíme zabývat případem, kdy součet c + b je větší než 9, a soustředíme se výhradně na druhou z výše jmenovaných možností, tj. b = 0. Dosadíme nejmenší možné číslo na místo tisícovek a = 1 a zjišťujeme, že c = d + 1. Nejmenší vyhovující možnost je d = 2 a c = 3. Bětka si tedy hrála s číslem 1032 a její výpočet vypadal takto:

1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3

Z výše uvedeného je nyní snadné doplnit nějaké jiné číslo s uvedenými vlastnostmi, tedy nějaké Eričino číslo. Např. stačí v Bětčině čísle zaměnit číslice na místě jednotek a tisícovek nebo číslice na místě desítek a stovek, příp. uvažovat jakákoli čísla tvaru (4). Mezi možnými řešeními jsou také čísla, kdy součet c+b je větší než 9. Zde je několik řešení, na která mohla Erika přijít, kdyby ovšem nebyla tak netrpělivá:

1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4

1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3

1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8

Poznámky. a) Pokud umíme zdůvodnit, že hledané Bětčino číslo musí být aspoň čtyřmístné, potom je lze snadno najít zkoušením:

Nejmenší čtyřmístné číslo s navzájem různými číslicemi je 1023. Toto číslo však není řešením, neboť 1023 + 3201 = 4224. Pokud nás napadne prohodit číslice 2 a 3, dostaneme vyhovující řešení: 1032 + 2301 = 3333. Abychom se přesvědčili, že toto řešení je nejmenší možné, stačí ověřit, že žádné číslo mezi 1023 a 1032 nevyhovuje některé z uvedených podmínek.
b) Nahrazení ostatních úvah zkoušením je také možné, avšak často velmi pracné. Nicméně pokud je řešení založené na zkoušení úplné, nechť je považováno za správné.
Jakékoli dílčí obecné postřehy mohou počet možností k prozkoušení zajímavě snižovat (např. počet trojic různých čísel od 1 do 9 vyhovujících rovnosti (1) jistě není větší než 32.

A proc neni nejmenším hledaným číslem 1021?

Pretoze musi mat navzajom rozne cifry :)

Pretoze musi mat navzajom rozne cifry :)

Proč to nemůže být například 10?

10 + 01 = 11

To stejné platí pro všechny násobky deseti až do devadesáti.

Protože 01, 02, atd. nejsou čísla.....

K nápovědě Peter2 - bod 2 dvojmístné číslo, "Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné"

To je sice pravda, ale v zadání není napsáno, že zadáním čísel odzadu má vzniknout opět číslo se stejným počtem míst ("Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo")

Řekl bych tedy, že násobky deseti do devadesáti mohou být řešením.

vysledek muze mit i vice mist treba ....10403 nebo 18971897