Ťažisko

Hmotné body sú rozložené v priestore nasledovne - zadané súradnice v priestore a ich hmotnosti. Nájdite polohu ťažiska tejto sústavy hmotných bodov:

A₁ [-15; -17; 11] m₁ = 80 kg
A₂ [-16; -13; -5] m₂ = 99 kg
A₃ [13; -13; -14] m₃ = 51 kg
A₄ [-5; 10; -1] m₄ = 74 kg
A₅ [-4; 2; -13] m₅ = 8 kg
A₆ [-14; -2; 11] m₆ = 12 kg
A₇ [-18; 20; 13] m₇ = 98 kg

Správna odpoveď:

x₀ =  -10,5569
y₀ =  -1,4645
z₀ =  2,1303

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} x_1=-15;y_1=-17;z_1=11 \\ {m}_1=80 \\ {x}_2=-16;y_2=-13;z_2=-5 \\ {m}_2=99 \\ {x}_3=13;y_3=-13;z_3=-14 \\ {m}_3=51 \\ {x}_4=-5;y_4=10;z_4=-1 \\ {m}_4=74 \\ {x}_5=-4;y_5=2;z_5=-13 \\ {m}_5=8 \\ {x}_6=-14;y_6=-2;z_6=11 \\ {m}_6=12 \\ {x}_7=-18;y_7=20;z_7=13 \\ {m}_7=98 \\ m=m_1+m_2+m_3+m_4+m_5+m_6+m_7=80+99+51+74+8+12+98=422 \\ {M}_x=m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3+m_4\cdot x_4+m_5\cdot x_5+m_6\cdot x_6+m_7\cdot x_7=80\cdot (-15)+99\cdot (-16)+51\cdot 13+74\cdot (-5)+8\cdot (-4)+12\cdot (-14)+98\cdot (-18)=-4455 \\ {M}_y=m_1\cdot y_1+m_2\cdot y_2+m_3\cdot y_3+m_4\cdot y_4+m_5\cdot y_5+m_6\cdot y_6+m_7\cdot y_7=80\cdot (-17)+99\cdot (-13)+51\cdot (-13)+74\cdot 10+8\cdot 2+12\cdot (-2)+98\cdot 20=-618 \\ {M}_z=m_1\cdot z_1+m_2\cdot z_2+m_3\cdot z_3+m_4\cdot z_4+m_5\cdot z_5+m_6\cdot z_6+m_7\cdot z_7=80\cdot 11+99\cdot (-5)+51\cdot (-14)+74\cdot (-1)+8\cdot (-13)+12\cdot 11+98\cdot 13=899 \\ {x}_0=\frac{M_x}{m}=\frac{(-4455)}{422}=-\frac{4455}{422}=-10\frac{235}{422}=-10,5569 \end{gathered}$$

$y_0=\frac{M_y}{m}=\frac{(-618)}{422}=-\frac{309}{211}=-1\frac{98}{211}=-1,4645$

$z_0=\frac{M_z}{m}=\frac{899}{422}=2\frac{55}{422}=2,1303$

Skúsiť iný príklad