Těžiště

Hmotné body jsou rozloženy v prostoru následovně - zadané souřadnice v prostoru a jejich hmotnosti. Najděte polohu těžiště této soustavy hmotných bodů:

A₁ [4; -15; -20] m₁ = 12 kg
A₂ [-4; 17; -6] m₂ = 51 kg
A₃ [0; 5; -8] m₃ = 12 kg
A₄ [10; -10; -11] m₄ = 79 kg
A₅ [2; -4; -13] m₅ = 70 kg
A₆ [2; 20; 10] m₆ = 94 kg

Správná odpověď:

x₀ =  3,0252
y₀ =  4,8962
z₀ =  -4,6572

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} x_1=4;y_1=-15;z_1=-20 \\ {m}_1=12 \\ {x}_2=-4;y_2=17;z_2=-6 \\ {m}_2=51 \\ {x}_3=0;y_3=5;z_3=-8 \\ {m}_3=12 \\ {x}_4=10;y_4=-10;z_4=-11 \\ {m}_4=79 \\ {x}_5=2;y_5=-4;z_5=-13 \\ {m}_5=70 \\ {x}_6=2;y_6=20;z_6=10 \\ {m}_6=94 \\ m=m_1+m_2+m_3+m_4+m_5+m_6=12+51+12+79+70+94=318 \\ {M}_x=m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3+m_4\cdot x_4+m_5\cdot x_5+m_6\cdot x_6=12\cdot 4+51\cdot (-4)+12\cdot 0+79\cdot 10+70\cdot 2+94\cdot 2=962 \\ {M}_y=m_1\cdot y_1+m_2\cdot y_2+m_3\cdot y_3+m_4\cdot y_4+m_5\cdot y_5+m_6\cdot y_6=12\cdot (-15)+51\cdot 17+12\cdot 5+79\cdot (-10)+70\cdot (-4)+94\cdot 20=1557 \\ {M}_z=m_1\cdot z_1+m_2\cdot z_2+m_3\cdot z_3+m_4\cdot z_4+m_5\cdot z_5+m_6\cdot z_6=12\cdot (-20)+51\cdot (-6)+12\cdot (-8)+79\cdot (-11)+70\cdot (-13)+94\cdot 10=-1481 \\ {x}_0=\frac{M_x}{m}=\frac{962}{318}=\frac{481}{159}=3\frac{4}{159}=3,0252 \end{gathered}$$

$y_0=\frac{M_y}{m}=\frac{1557}{318}=\frac{519}{106}=4\frac{95}{106}=4,8962$

$z_0=\frac{M_z}{m}=\frac{(-1481)}{318}=-\frac{1481}{318}=-4\frac{209}{318}=-4,6572$

Zkusit jiný příklad