MO Z9 2019 domace kolo

V trojúhelníku ABC leží bod P ve třetině úsečky AB blíže bodu A, bod R je ve třetině úsečky P B blíže bodu P a bod Q leží na úsečce BC tak, že úhly P CB a RQB jsou shodné.

Určete poměr obsahů trojúhelníků ABC a PQC.

Správná odpověď:

p =  9:2

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} |AB|=a \\ |AP|=\frac{1}{3}a \\ |PR|=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}a=\frac{2}{9}a \\ |RB|=(1-\frac{1}{3}-\frac{2}{9})a=\frac{4}{9}a \\ S(ABC)=\frac{a\cdot h}{2} \\ S(APC)=\frac{|AP|\cdot h}{2}=\frac{\frac{1}{3}\cdot a\cdot h}{2}=\frac{1}{3}\cdot S(ABC) \\ S(PCB)=S(ABC)-S(APC)=\frac{2}{3}\cdot S(ABC) \\ PCB\dots \dots RQB \\ {h}_2=\frac{2}{3}\cdot h \\ S(PQB)=\frac{|PB|\cdot h_2}{2}=\frac{\frac{2}{3}\cdot a\cdot \frac{2}{3}\cdot h}{2}=\frac{4}{9}\cdot S(ABC) \\ S(PQC)=S(ABC)-S(APC)-S(PQB)=S(ABC)(1-\frac{1}{3}-\frac{4}{9}) \\ S(PQC)=k\cdot S(ABC) \\ k=1-\frac{1}{3}-\frac{4}{9}=\frac{2}{9}\doteq 0,2222 \\ p=S(ABC):S(PQC) \\ p=1/k=1/\frac{2}{9}=1:\frac{2}{9}=1\cdot \frac{9}{2}=\frac{1\cdot 9}{2}=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}=4,5=9:2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad