MO - trojúhelníky

Na stranách AB a AC trojúhelníku ABC lěží po řadě body E a F, na úsečce EF leží bod D. Přmky EF a BC jsou rovnoběžné a součastně platí FD : DE = AE : EB = 2:1. Trojúhelník ABC má obsah 27 hektarů a úsečkami EF, AD a DB je rozdělen na čtyři části . Určete obsahy těchto čtyř částí.

Správná odpověď:

Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.

Zobrazuji 3 komentáře:

Ries.mr

Nápověda. Začněte s obsahem trojúhelníku AEF.

Přímky EF a BC jsou rovnoběžné, souhlasné úhly u vrcholů E a B, resp. u vrcholů F a C jsou shodné, trojúhelníky AEF a ABC jsou tudíž podobné. Odpovídající koeficient podobnosti je roven:

|AE| : |AB| = |AE| : (|AE| + |EB|) = 2:3

Obsahy těchto trojúhelníků jsou proto v poměru AEF : ABC =4:9

takže AEF = ABC · 4 : 9 = 12 hektarů;

Úsečka AD dělí trojúhelník AEF na dva trojúhelníky, jejichž obsahy jsou ve stejném poměru jako délky úseček FD a DE, tedy

ADF : ADE = |FD| : |DE| =2:1

Odtud plyne, že ADE = AEF : 3 = 4 hektary a ADF = 2 · ADE = 8 hektarů. Úsečka DE dělí trojúhelník ABD na dva trojúhelníky, jejichž obsahy jsou ve stejném poměru jako délky úseček AE a EB, tedy

ADE : BDE = |AE| : |EB| =2:1

Odtud plyne, že BDE = ADE : 2 = 2 hektary

Nyní známe obsahy tří ze čtyř částí trojúhelníku ABC, obsah té poslední je roven rozdílu BCFD = ABC − AEF − BDE = 13 hektarů. Obsahy částí trojúhelníku ABC v hektarech jsou:

BED = 2, AED = 4, ADF = 8, BCFD = 13

9 let 1 Like Like

Žák

muzu se zeptat jak si dosel k tomu ze to je v pomeru 4:9 ??

9 let Like

Žák

Myslim ze ak strany podobnych trojuhelniku jsou v pomeru 2:3 tak obsahy jsou v druhe mocnine teda 4:9

9 let Like