Trojúhelníku 83622

Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny dlouhé 3 cm a 4 cm. Jeden kužel (nazvěme ho A) vznikl rotací tohoto trojúhelníku kolem dlouhé odvěsny, druhý (označíme B) rotací kolem kratší odvěsny. Který kužel má:
a) větší objem
b) menší plášť
c) větší celý povrch?

Správná odpověď:

a = B
b = A
c = B

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} x=3\text{cm} \\ y=4\text{cm} \\ {r}_1=x=3\text{cm} \\ {r}_2=y=4\text{cm} \\ {h}_1=y=4\text{cm} \\ {h}_2=x=3\text{cm} \\ {S}_1=\pi \cdot r_1^2=3,1416\cdot 3^2\doteq 28,2743{\text{cm}}^2 \\ {S}_2=\pi \cdot r_2^2=3,1416\cdot 4^2\doteq 50,2655{\text{cm}}^2 \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot S_1\cdot h_1=\frac{1}{3}\cdot 28,2743\cdot 4\doteq 37,6991{\text{cm}}^3 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot S_2\cdot h_2=\frac{1}{3}\cdot 50,2655\cdot 3\doteq 50,2655{\text{cm}}^3 \\ {V}_2>V_1 \\ a=B \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} s=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{cm} \\ {S}_{11}=\pi \cdot r_1\cdot s=3,1416\cdot 3\cdot 5\doteq 47,1239{\text{cm}}^2 \\ {S}_{22}=\pi \cdot r_2\cdot s=3,1416\cdot 4\cdot 5\doteq 62,8319{\text{cm}}^2 \\ {S}_{22}>S_{11} \\ b=A \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} P_1=S_1+S_{11}=28,2743+47,1239\doteq 75,3982{\text{cm}}^2 \\ {P}_2=S_2+S_{22}=50,2655+62,8319\doteq 113,0973{\text{cm}}^2 \\ {P}_2>P_1 \\ c=B \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad