Violoncello 7745

Ve školním orchestru hrají čtyři hudebníci - jeden na housle, jeden na klarinet, jeden na violoncello a jeden na trubku. Během vystoupení ne vždy hrají všichni čtyři najednou. Někdy hraje jen jeden nástroj, někdy dva, někdy tři a někdy všechny čtyři. Na úvod školního roku si vymysleli vystoupení, ve kterém nejprve zahrál každý sám jako sólista, potom všechny dvojice, všechny trojice a nakonec všichni čtyři spolu. Všechna seskupení hrála přesně minutu. Jak dlouho trvalo jejich vystoupení?

Správná odpověď:

t =  15 min

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} C_2(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=6 \\ {C}_3(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4}{1}=4 \\ {C}_4(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=\frac{4!}{4!(4-4)!}=\frac{1}{1}=1 \\ t=1\cdot (4+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{4})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}))=1\cdot (4+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{4})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4})+1)=15\text{min} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad