Obdélník 51

Obdélník budeme opakovaně zvětšovat tak, že stranu, která je v daném okamžiku kratší, prodloužíme o 3 cm a delší stranu jen o 1 cm.
Po třetím prodloužení se vytvoří obdélník s rozměry 11 cm a 12 cm.
1. Určete rozměry původního obdélníku.
2. Určete rozměry obdélníku po pátém prodloužení.
3. Určete rozměry obdélníku po sto pátém prodloužení.

(výsledek na 1. A 2. Otázku je snadné si postupně odvodit, ale jaký princip použít, abych se dostal na jakékoli n-té prodloužení)

Správná odpověď:

a₁ =  6 cm
b₁ =  5 cm
a₆ =  15 cm
b₆ =  16 cm
a₁₀₆ =  215 cm
b₁₀₆ =  216 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_4=11\text{cm} \\ {b}_4=12\text{cm} \\ {a}_3=a_4-1=11-1=10\text{cm} \\ {b}_3=b_4-3=12-3=9\text{cm} \\ {a}_2=a_3-3=10-3=7\text{cm} \\ {b}_2=b_3-1=9-1=8\text{cm} \\ {a}_1=a_2-1=7-1=6\text{cm} \end{gathered}$$

$b_1=b_2-3=8-3=5\text{cm}$

$$\begin{gathered} a_5=a_4+3=11+3=14\text{cm} \\ {b}_5=b_4+1=12+1=13\text{cm} \\ {a}_6=a_5+1=14+1=15\text{cm} \end{gathered}$$

$b_6=b_5+3=13+3=16\text{cm}$

$$\begin{gathered} m=(3+1)/2=2\text{cm} \\ {a}_{106}=a_6+100\cdot m=15+100\cdot 2=215\text{cm} \end{gathered}$$

$b_{106}=b_6+100\cdot m=16+100\cdot 2=216\text{cm}$

Zkusit jiný příklad