C – I – 3 MO 2018

Nechť a, b, c jsou kladná reálná čísla, jejichž součet je 3, a každé z nich je nejvýše 2.

Dokažte, že platí nerovnost:

a2 + b2 + c2 + 3abc < 9

Správná odpověď:

d =  1

Postup správného řešení:

a+b+c=3 0<a<2 0<b<2 0<c<2 (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a+b+c)2 = 32 = 9  a2+b2+c2 = 9−2(ab+bc+ac) 9 − 2(ab+bc+ac) + 3abc < 9 −2(ab+bc+ac)  < −3abc  2(ab+bc+ac) > 3abc a=b=c=2 x11​=2⋅ (2⋅ 2+2⋅ 2+2⋅ 2)=24 x12​=3⋅ 2⋅ 2⋅ 2=24 x11​=x12​  a=b=c=3/2 x21​=2⋅ (1,5⋅ 1,5+1,5⋅ 1,5+1,5⋅ 1,5)=13,5 x22​=3⋅ 1,5⋅ 1,5⋅ 1,5=10,125 x21​>x22​  d=1

Zkusit jiný příklad


Našel jsi chybu či nepřesnost? Klidně nám ji napiš.



Zobrazuji 3 komentáře:
Dr Math
Návodné a doplňující úlohy:

N1. Pro reálná čísla se součtem 3 platí navíc a2 + b2 + c2 = 5. Jaké hodnoty může nabývat výraz ab+bc+ca? [Jelikož (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ca), je nutně ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosažitelná díky trojici (2, 1, 0).]

N2. Nezáporná reálná čísla a, b, c jsou všechna nejvýše rovna 1. Dokažte, že 3abc <= a + b + c. Kdy nastane rovnost? [Upravíme na a(1 − bc) + b(1 − ac) + c(1 − ab) >= 0, výrazy v závorkách jsou nezáporné. Rovnost nastane, právě když buď a = b = c = 0, nebo a = b = c = 1.]

D1. Dokažte, že pro reálná čísla a, b, c platí a2 +b2 +c2 >= ab+bc+ca. Kdy nastane rovnost? [Nerovnost je ekvivalentní s (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0, která jistě platí. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c.]

D2. Reálná čísla a, b, c mají součet 3. Dokažte, že 3 = ab + bc + ca. Kdy nastane rovnost? [Plyne z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) a z předešlé úlohy. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c = 1.]

D3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x, y, z platí nerovnost x2 + 5y2 + 4z2 = 4y(x + z), a zjistěte, kdy nastane rovnost. [Anulujte pravou stranu dané nerovnosti a upravte ji následně do tvaru (x2 − 4xy + 4y2 ) + (y2 − 4yz + 4z2 ) = 0, kde na levé straně je nezáporný součet (x − 2y)2 + (y − 2z)2 . Rovnost zde nastane, právě když platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je libovolné reálné číslo.]

D4. Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Dokažte, že platí nerovnost 3a2 + 2bc > 2ab + 2ac. [Danou nerovnost upravte na tvar a 2 −(b−c)2 + (a−b)2 + (a−c)2 > 0 a rozdíl prvních dvou druhých mocnin nahraďte příslušným součinem.]

Vítek
Řešení je chybné, součet a + b + c musí být 3.

Žák
A co tohle jestli a, b, c jsou kladná reálná čísla a ab + bc + ca = 1 najděte hodnotu tohoto výrazu (b2+1) /a+b + b (c2+1) /b+c + c (a2+1) /c+a?





K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:

Téma:

Úroveň náročnosti úkolu:

Související a podobné příklady: