Z7–I–2 MO 2018

Ve dvanáctiúhelníku ABCDEF GHIJKL jsou každé dvě sousední strany kolmé a všechny strany s výjimkou stran AL a GF jsou navzájem shodné. Strany AL a GF jsou oproti ostatním stranám dvojnásobně dlouhé. Úsečky BG a EL se protínají v bodě M. Čtyřúhelník ABMJ má obsah 1,8 cm².

Určete obsah čtyřúhelníku EFGM.

Správná odpověď:

S =  4,2 cm²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} S_1=1,8{\text{cm}}^2 \\ {S}_1=(1/2+1/4)S_2 \\ {S}_2=S_1/(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=1,8/(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=\frac{12}{5}=2,4{\text{cm}}^2 \\ a=\sqrt{S_2}=\sqrt{2,4}\doteq 1,5492\text{cm} \\ S=S_2\cdot (1+1/2+1/4)=\frac{12}{5}\cdot (1+1/2+1/4)=\frac{21}{5}{\text{cm}}^2=4,2{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad