Atmosférický 61484

Vzduchová bublina na dně jezera v hloubce h = 21 m má při teplotě t1 = 4°C poloměr r1 = 1 cm. Bublina pomalu stoupá na povrch, přičemž se její objem zvětšuje. Vypočítejte jaký bude její poloměr, když dosáhne povrchu jezera, který má teplotu t2 = 27°C. Atmosférický tlak činí b = 0,1 MPa, hustota vody = 1030 kg. m-3. Povrchové napětí neberte v úvahu.

Správná odpověď:

r₂ =  1,0272 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} h_1=21\text{m} \\ {T}_1=4°C\to K=4+273,16K=277,16K \\ {r}_1=1\text{cm}\to \text{m}=1:100\text{m}=0,01\text{m} \\ \rho =1030{\text{kg/m}}^3 \\ {V}_1=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r_1^3=\frac{4}{3}\cdot 3,1416\cdot 0,01^3\doteq 4,1888\cdot 10^{-6}{\text{m}}^3 \\ {T}_2=27°C\to K=27+273,16K=300,16K \\ {p}_2=0,1\cdot 10^6=100000\text{Pa} \\ m=\rho \cdot V_1=1030\cdot 4,1888\cdot 10^{-6}\doteq 0,0043\text{kg} \\ {p}_1=p_2+m\cdot \rho \cdot h_1=100000+0,0043\cdot 1030\cdot 21\doteq 100093,3216\text{Pa} \\ \frac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\frac{p_2\cdot V_2}{T_2} \\ {V}_2=\frac{p_1\cdot V_1\cdot T_2}{p_2\cdot T_1}=\frac{100093,3216\cdot 4,1888\cdot 10^{-6}\cdot 300,16}{100000\cdot 277,16}\doteq 4,5406\cdot 10^{-6}{\text{m}}^3 \\ {V}_2=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r_2^3 \\ x=\sqrt[3]{\frac{3\cdot V_2}{4\pi }}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot 4,5406\cdot 10^{-6}}{4\cdot 3,1416}}\doteq 0,0103\text{m} \\ {r}_2=x\to \text{cm}=x\cdot 100\text{cm}=0,0103\cdot 100\text{cm}=1,027\text{cm}=1,0272\text{cm} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad