Na telefonním

Na telefonním kabelu o délce 10 m sedí 20 vlaštovek. Předpokládejme, že vlaštovky jsou podél kabelu rozmístěny zcela náhodně.

(a) Jaká je pravděpodobnost, že na náhodně vybraném úseku kabelu o délce 1 m sedí více než 3 vlaštovky?

(b) Jaká je pravděpodobnost, že rozestup mezi dvěma vlaštovkami bude větší než 1 m a zároveň menší než 2 m?

Správná odpověď:

a =  0,867
b =  

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} n=20 \\ \rho =1/10=\frac{1}{10}=0,11\text{/m} \\ {p}_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\cdot {\rho }^0\cdot (1-\rho {)}^{n-0}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{0})\cdot 0,1^0\cdot (1-0,1{)}^{20-0}=1\cdot 0,1^0\cdot 0,9^{20}\doteq 0,1216 \\ {p}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\cdot {\rho }^1\cdot (1-\rho {)}^{n-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{1})\cdot 0,1^1\cdot (1-0,1{)}^{20-1}=20\cdot 0,1^1\cdot 0,9^{19}\doteq 0,2702 \\ {p}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot {\rho }^2\cdot (1-\rho {)}^{n-2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2})\cdot 0,1^2\cdot (1-0,1{)}^{20-2}=190\cdot 0,1^2\cdot 0,9^{18}\doteq 0,2852 \\ {p}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)\cdot {\rho }^3\cdot (1-\rho {)}^{n-3}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{3})\cdot 0,1^3\cdot (1-0,1{)}^{20-3}=1140\cdot 0,1^3\cdot 0,9^{17}\doteq 0,1901 \\ a=p_0+p_1+p_2+p_3=0,1216+0,2702+0,2852+0,1901\doteq 0,867 \\ p=1-a=1-0,867\doteq 0,133 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad