Papír

Tvrdý papír ve tvaru obdélníku má rozměry 60 cm a 28 cm. V rozích se odstřihnou stejné čtverce a zbytek se ohne do tvaru otevřené krabice. Jak dlouhá musí být strana odříznutých čtverců, aby objem krabice byl největší?

Správná odpověď:

c =  6 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a=60 \\ b=28 \\ V=(a-2c)(b-2c)c \\ V=(60-2c)(28-2c)c \\ V=4c^3-176c^2+1680c \\ {V}^{\prime }=12c^2-352c+1680 \\ {V}^{\prime }=0 \\ 12c^2-352c+1680=0 \\ 12c^2-352c+1680=0 \\ 12=2^2\cdot 3 \\ 352=2^5\cdot 11 \\ 1680=2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \\ \text{NSD}(12,352,1680)=2^2=4 \\ 3c^2-88c+420=0 \\ p=3;q=-88;r=420 \\ D=q^2-4pr=88^2-4\cdot 3\cdot 420=2704 \\ D>0 \\ {c}_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}=\frac{88\pm \sqrt{2704}}{6} \\ {c}_{1,2}=\frac{88\pm 52}{6} \\ {c}_{1,2}=14,666667\pm 8,666667 \\ {c}_1=23,333333333 \\ {c}_2=6 \\ c=c_1=23,3333=6 \\ {a}_1=a-2\cdot c_1=60-2\cdot 23,3333=\frac{40}{3}\doteq 13,3333 \\ {b}_1=b-2\cdot c_1=28-2\cdot 23,3333=-\frac{56}{3}\doteq -18,6667 \\ {V}_1=a_1\cdot b_1\cdot c_1=13,3333\cdot (-18,6667)\cdot 23,3333\doteq -5807,4074 \\ {a}_2=a-2\cdot c_2=60-2\cdot 6=48 \\ {b}_2=b-2\cdot c_2=28-2\cdot 6=16 \\ {V}_2=a_2\cdot b_2\cdot c_2=48\cdot 16\cdot 6=4608 \\ {V}_2>V_1 \\ c=c_2=6=6\text{cm} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

Zkusit jiný příklad