Mo - kružnice

A zdůvodnení??

velice by mě zajímal důkaz, že poloměr je opravdu 3 cm. Věděl by někdo?

Nápověda. Přemýšlejte, jak byste pomocí poloměru hledané kružnice vyjádřili vzdálenost
jejího středu od úsečky AB, příp. BC.

Možné řešení. Během řešení se odkazujeme na obrázek, v němž O značí střed strany BC, S značí střed Jirkovy vytoužené kružnice h, K značí dotykový bod kružnic h a k, L značí dotykový bod kružnic h a l a M značí dotykový bod kružnice h a úsečky AB. Dále budeme odkazovat na pomocný bod E, který je patou kolmice z bodu S na stranu BC. Hledaný poloměr kružnice h v cm označíme r.

Vzdálenost bodu S od úsečky AB je rovna r = |SM| = |EB|. Vzdálenost bodu S od úsečky BC je rovna velikosti úsečky SE, která je odvěsnou jak v pravoúhlém trojúhelníku SEO, tak v trojúhelníku SEB. Všechny zbylé strany v obou trojúhelnících snadno vyjádříme pomocí r; odtud pomocí Pythagorovy věty budeme umět určit neznámou r.

Body S a O jsou středy kružnic h a l, které se dotýkají v bodě L. Tyto tři body leží na jedné přímce, vzdálenost SO je proto rovna.

|SO| = |SL| + |LO| = r + 6

Obdobně, vzdálenost SB je rovna

|SB| = |BK| − |KS| = 12 − r

neboť S a O jsou středy kružnic h a k a K je jejich dotykovým bodem. Vzdálenost OE je rovna:

|OE| = |OB| − |BE| = 6 − r

Odtud a z Pythagorovy věty v trojúhelnících SEO a SEB dostáváme:
|SE|² = |SO|² − |OE|² = |SB|² − |BE|²

(6 + r)² − (6 − r)² = (12 − r)² − r²

12r + 12r = 144 − 24r,
48r = 144,
r = 3.
Poloměr hledané kružnice je 3 cm