Dva běžci

Dva běžci vyběhli současně proti sobě z míst vzdálených 39,8 km. Průměrná rychlost prvního běžce byla o 1/2 vyšší než průměrná rychlost druhého běžce. Za jak dlouho by každý uběhl zmiňovaných 39,8 km,
víte-li, že se na trati potkají po 64 minutách?

Správná odpověď:

t₁ =  106,7 min
t₂ =  160 min

Postup správného řešení:

$t = 64 \ \text{min} \ \\ s = 39.8 \ \text{km} \ \\ v = s/t = 39.8/64 = \dfrac{ 199 }{ 320 } \doteq 0.6219 \ \text{km/min} \ \\ \ \\ k = 1 + \dfrac{ 1 }{ 2 } = \dfrac{ 1 \cdot \ 2 }{ 2 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } = \dfrac{ 2 }{ 2 } + \dfrac{ 1 }{ 2 } = \dfrac{ 2 + 1 }{ 2 } = \dfrac{ 3 }{ 2 } = 1.5 \ \\ \ \\ s_{1}\ +\ s_{2}\ = \ s \ \\ v_{1}\ = \ v_{2}\ (1+1/2)\ = \ k\ v_{2} \ \\ \ \\ v_{1} = \ k \cdot \ v_{2} \ \\ v_{1}+v_{2}\ = \ v \ \\ \ \\ k \cdot \ v_{2}+v_{2} = v \ \\ 1.5 \cdot \ v_{2}+v_{2} = 0.621875 \ \\ \ \\ 2.5v_{2} = 0.621875 \ \\ \ \\ v_{2} = \dfrac{ 0.621875 }{ 2.5 } = 0.24875 \ \\ \ \\ v_{2} = \dfrac{ 199 }{ 800 } = 0.24875 \ \\ \ \\ v_{1} = v- v_{2} = 0.6219- 0.2488 = \dfrac{ 597 }{ 1600 } \doteq 0.3731 \ \text{km/min} \ \\ \ \\ t_1 = t_{1} = s/v_{1} = 39.8/0.3731 = 106.7 \ \text{min}$

$t_2 = t_{2} = s/v_{2} = 39.8/0.2488 = 160 \ \text{min}$

Zkusit jiný příklad