Trojúhelník 9 9 10




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 9
b = 9
c = 10

Obsah trojúhelníku: S = 37,41765738677
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Úhel ∠ A = α = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Úhel ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Úhel ∠ C = γ = 67,49879771918° = 67°29'53″ = 1,17880619404 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,31547941928
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 8,31547941928
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 7,48333147735

Těžnice: ta = 8,38215273071
Těžnice: tb = 8,38215273071
Těžnice: tc = 7,48333147735

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,67326124191
Poloměr opsané kružnice: R = 5,41220401487

Souřadnice vrcholů: A[10; 0] B[0; 0] C[5; 7,48333147735]
Těžiště: T[5; 2,49444382578]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5; 2,07112746248]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5; 2,67326124191]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 112,50220228082° = 112°30'7″ = 1,17880619404 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=9 b=9 c=10

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=9+9+10=28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o​=228​=14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−9)(14−9)(14−10) S=14⋅ 5⋅ 5⋅ 4 S=1400=37,417S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 14(14-9)(14-9)(14-10) } \ \\ S = \sqrt{ 14 \cdot \ 5 \cdot \ 5 \cdot \ 4 } \ \\ S = \sqrt{ 1400 } = 37{,}417

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 37,4179=8,315 vb=2 Sb=2⋅ 37,4179=8,315 vc=2 Sc=2⋅ 37,41710=7,483S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 37{,}417 }{ 9 } = 8{,}315 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 37{,}417 }{ 9 } = 8{,}315 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 37{,}417 }{ 10 } = 7{,}483

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−92​)=56°15′4"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−92​)=56°15′4" γ=180°−α−β=180°−56°15′4"−56°15′4"=67°29′53"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=37,41714=2,673S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 37{,}417 }{ 14 } = 2{,}673

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=9⋅ 9⋅ 104⋅ 2,673⋅ 14=5,412R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 9 \cdot \ 9 \cdot \ 10 }{ 4 \cdot \ 2{,}673 \cdot \ 14 } = 5{,}412

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 92+2⋅ 102−922=8,382 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 102+2⋅ 92−922=8,382 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 92+2⋅ 92−1022=7,483t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 9^2+2 \cdot \ 10^2 - 9^2 } }{ 2 } = 8{,}382 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 9^2 - 9^2 } }{ 2 } = 8{,}382 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 9^2+2 \cdot \ 9^2 - 10^2 } }{ 2 } = 7{,}483

Vypočítat další trojúhelník