Trojúhelník 8 10 11

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 8
b = 10
c = 11

Obsah trojúhelníku: S = 38,52883986171
Obvod trojúhelníku: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Úhel ∠ A = α = 44,46884446032° = 44°28'6″ = 0,77661207716 rad
Úhel ∠ B = β = 61,12114535039° = 61°7'17″ = 1,06767706072 rad
Úhel ∠ C = γ = 74,41101018929° = 74°24'36″ = 1,29987012748 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 9,63220996543
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,70656797234
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 7,00551633849

Těžnice: t_a = 9,72111110476
Těžnice: t_b = 8,21658383626
Těžnice: t_c = 7,1943747285

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,65771309391
Poloměr opsané kružnice: R = 5,7110073813

Souřadnice vrcholů: A[11; 0] B[0; 0] C[3,86436363636; 7,00551633849]
Těžiště: T[4,95545454545; 2,33550544616]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,5; 1,53545823372]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,5; 2,65771309391]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135,53215553969° = 135°31'54″ = 0,77661207716 rad
∠ B' = β' = 118,87985464961° = 118°52'43″ = 1,06767706072 rad
∠ C' = γ' = 105,59898981071° = 105°35'24″ = 1,29987012748 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 8 b = 10 c = 11

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 8 + 10 + 11 = 29

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 44 ° 2 8^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 1}) = 61 ° 7^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 8^{'} 6 " - 61 ° 7^{'} 17 " = 74 ° 2 4^{'} 36 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 0 \cdot 1 1}{4 \cdot 2 , 6 5 7 \cdot 1 4 , 5} = 5, 71

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 9, 721 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 8, 216 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 7, 194

Vypočítat další trojúhelník