Trojúhelník 5 9 12

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 9
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 20,39660780544
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 22,19216065663° = 22°11'30″ = 0,38773166009 rad
Úhel ∠ B = β = 42,83334280661° = 42°50' = 0,74875843497 rad
Úhel ∠ C = γ = 114,97549653677° = 114°58'30″ = 2,0076691703 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 8,15884312217
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 4,53224617899
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,39993463424

Těžnice: t_a = 10,3087764064
Těžnice: t_b = 8,01656097709
Těžnice: t_c = 4,12331056256

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,56989290811
Poloměr opsané kružnice: R = 6,61989195609

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[3,66766666667; 3,39993463424]
Těžiště: T[5,22222222222; 1,13331154475]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -2,79546549257]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,56989290811]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,80883934337° = 157°48'30″ = 0,38773166009 rad
∠ B' = β' = 137,16765719339° = 137°10' = 0,74875843497 rad
∠ C' = γ' = 65,02550346323° = 65°1'30″ = 2,0076691703 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 5 b = 9 c = 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 5 + 9 + 12 = 26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 2}) = 22 ° 1 1^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 2}) = 42 ° 5 0^{'} γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 22 ° 1 1^{'} 30 " - 42 ° 5 0^{'} = 114 ° 5 8^{'} 30 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 10, 308 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 8, 016 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 4, 123

Vypočítat další trojúhelník