Trojúhelník 5 8 8




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 8
c = 8

Obsah trojúhelníku: S = 18,9988355192
Obvod trojúhelníku: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Úhel ∠ A = α = 36,42199137286° = 36°25'12″ = 0,63656474079 rad
Úhel ∠ B = β = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,25329726229 rad
Úhel ∠ C = γ = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,25329726229 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,59993420768
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,7549588798
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,7549588798

Těžnice: ta = 7,59993420768
Těžnice: tb = 5,3398539126
Těžnice: tc = 5,3398539126

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,80993671611
Poloměr opsané kružnice: R = 4,21108908477

Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[1,56325; 4,7549588798]
Těžiště: T[3,18875; 1,5833196266]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; 1,31659033899]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 1,80993671611]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,58800862714° = 143°34'48″ = 0,63656474079 rad
∠ B' = β' = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,25329726229 rad
∠ C' = γ' = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,25329726229 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=8 c=8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=5+8+8=21

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=212=10,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 21 }{ 2 } = 10{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−5)(10,5−8)(10,5−8) S=10,5⋅ 5,5⋅ 2,5⋅ 2,5 S=360,94=18,998S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 10{,}5(10{,}5-5)(10{,}5-8)(10{,}5-8) } \ \\ S = \sqrt{ 10{,}5 \cdot \ 5{,}5 \cdot \ 2{,}5 \cdot \ 2{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 360{,}94 } = 18{,}998

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 18,9985=7,599 vb=2 Sb=2⋅ 18,9988=4,75 vc=2 Sc=2⋅ 18,9988=4,75S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18{,}998 }{ 5 } = 7{,}599 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18{,}998 }{ 8 } = 4{,}75 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 18{,}998 }{ 8 } = 4{,}75

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 8⋅ 882+82−52​)=36°25′12"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 5⋅ 852+82−82​)=71°47′24" γ=180°−α−β=180°−36°25′12"−71°47′24"=71°47′24"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=18,99810,5=1,809S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 18{,}998 }{ 10{,}5 } = 1{,}809

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=5⋅ 8⋅ 84⋅ 1,809⋅ 10,5=4,211R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 5 \cdot \ 8 \cdot \ 8 }{ 4 \cdot \ 1{,}809 \cdot \ 10{,}5 } = 4{,}211

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 82+2⋅ 82−522=7,599 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 82+2⋅ 52−822=5,339 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 52+2⋅ 82−822=5,339t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 8^2 - 5^2 } }{ 2 } = 7{,}599 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 5^2 - 8^2 } }{ 2 } = 5{,}339 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 8^2 - 8^2 } }{ 2 } = 5{,}339

Vypočítat další trojúhelník