Trojúhelník 5 6 9




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 5
b = 6
c = 9

Obsah trojúhelníku: S = 14,14221356237
Obvod trojúhelníku: o = 20
Semiperimeter (poloobvod): s = 10

Úhel ∠ A = α = 31,58663380965° = 31°35'11″ = 0,55112855984 rad
Úhel ∠ B = β = 38,9422441269° = 38°56'33″ = 0,68796738189 rad
Úhel ∠ C = γ = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,91106332362 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,65768542495
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 4,71440452079
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,14326968053

Těžnice: ta = 7,22884161474
Těžnice: tb = 6,63332495807
Těžnice: tc = 3,20215621187

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,41442135624
Poloměr opsané kružnice: R = 4,7732970773

Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[3,88988888889; 3,14326968053]
Těžiště: T[4,29662962963; 1,04875656018]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; -1,59109902577]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4; 1,41442135624]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 148,41436619035° = 148°24'49″ = 0,55112855984 rad
∠ B' = β' = 141,0587558731° = 141°3'27″ = 0,68796738189 rad
∠ C' = γ' = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,91106332362 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=5 b=6 c=9

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=5+6+9=20

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o​=220​=10

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10(10−5)(10−6)(10−9) S=10⋅ 5⋅ 4⋅ 1 S=200=14,142S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 10(10-5)(10-6)(10-9) } \ \\ S = \sqrt{ 10 \cdot \ 5 \cdot \ 4 \cdot \ 1 } \ \\ S = \sqrt{ 200 } = 14{,}142

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 14,1425=5,657 vb=2 Sb=2⋅ 14,1426=4,714 vc=2 Sc=2⋅ 14,1429=3,143S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 14{,}142 }{ 5 } = 5{,}657 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 14{,}142 }{ 6 } = 4{,}714 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 14{,}142 }{ 9 } = 3{,}143

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 6⋅ 962+92−52​)=31°35′11"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 5⋅ 952+92−62​)=38°56′33" γ=180°−α−β=180°−31°35′11"−38°56′33"=109°28′16"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=14,14210=1,414S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 14{,}142 }{ 10 } = 1{,}414

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=5⋅ 6⋅ 94⋅ 1,414⋅ 10=4,773R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 5 \cdot \ 6 \cdot \ 9 }{ 4 \cdot \ 1{,}414 \cdot \ 10 } = 4{,}773

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 62+2⋅ 92−522=7,228 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 92+2⋅ 52−622=6,633 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 52+2⋅ 62−922=3,202t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6^2+2 \cdot \ 9^2 - 5^2 } }{ 2 } = 7{,}228 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 9^2+2 \cdot \ 5^2 - 6^2 } }{ 2 } = 6{,}633 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 6^2 - 9^2 } }{ 2 } = 3{,}202

Vypočítat další trojúhelník