Trojúhelník 4 9 12




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 9
c = 12

Obsah trojúhelníku: S = 13,63658901433
Obvod trojúhelníku: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5

Úhel ∠ A = α = 14,62664748646° = 14°37'35″ = 0,25552801443 rad
Úhel ∠ B = β = 34,62221618397° = 34°37'20″ = 0,60442707183 rad
Úhel ∠ C = γ = 130,75113632957° = 130°45'5″ = 2,2822041791 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 6,81879450716
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,03301978096
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,27326483572

Těžnice: ta = 10,4166333328
Těžnice: tb = 7,73298124169
Těžnice: tc = 3,53655339059

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,09108712115
Poloměr opsané kružnice: R = 7,92202750143

Souřadnice vrcholů: A[12; 0] B[0; 0] C[3,29216666667; 2,27326483572]
Těžiště: T[5,09772222222; 0,75875494524]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6; -5,17701795232]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3,5; 1,09108712115]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 165,37435251354° = 165°22'25″ = 0,25552801443 rad
∠ B' = β' = 145,37878381603° = 145°22'40″ = 0,60442707183 rad
∠ C' = γ' = 49,24986367043° = 49°14'55″ = 2,2822041791 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=9 c=12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=4+9+12=25

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=252=12,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 25 }{ 2 } = 12{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−4)(12,5−9)(12,5−12) S=12,5⋅ 8,5⋅ 3,5⋅ 0,5 S=185,94=13,636S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 12{,}5(12{,}5-4)(12{,}5-9)(12{,}5-12) } \ \\ S = \sqrt{ 12{,}5 \cdot \ 8{,}5 \cdot \ 3{,}5 \cdot \ 0{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 185{,}94 } = 13{,}636

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 13,6364=6,818 vb=2 Sb=2⋅ 13,6369=3,03 vc=2 Sc=2⋅ 13,63612=2,273S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 13{,}636 }{ 4 } = 6{,}818 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 13{,}636 }{ 9 } = 3{,}03 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 13{,}636 }{ 12 } = 2{,}273

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 9⋅ 1292+122−42​)=14°37′35"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 4⋅ 1242+122−92​)=34°37′20" γ=180°−α−β=180°−14°37′35"−34°37′20"=130°45′5"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=13,63612,5=1,091S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 13{,}636 }{ 12{,}5 } = 1{,}091

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=4⋅ 9⋅ 124⋅ 1,091⋅ 12,5=7,92R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 4 \cdot \ 9 \cdot \ 12 }{ 4 \cdot \ 1{,}091 \cdot \ 12{,}5 } = 7{,}92

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 92+2⋅ 122−422=10,416 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 122+2⋅ 42−922=7,73 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 42+2⋅ 92−1222=3,536t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 9^2+2 \cdot \ 12^2 - 4^2 } }{ 2 } = 10{,}416 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 12^2+2 \cdot \ 4^2 - 9^2 } }{ 2 } = 7{,}73 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4^2+2 \cdot \ 9^2 - 12^2 } }{ 2 } = 3{,}536

Vypočítat další trojúhelník