Trojúhelník 4 6 8




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 6
c = 8

Obsah trojúhelníku: S = 11,61989500386
Obvod trojúhelníku: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9

Úhel ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Úhel ∠ B = β = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 0,81327555614 rad
Úhel ∠ C = γ = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,82334765819 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,80994750193
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 3,87329833462
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,90547375097

Těžnice: ta = 6,78223299831
Těžnice: tb = 5,56877643628
Těžnice: tc = 3,16222776602

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,29109944487
Poloměr opsané kružnice: R = 4,1311182236

Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[2,75; 2,90547375097]
Těžiště: T[3,58333333333; 0,96882458366]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; -1,0332795559]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,29109944487]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 0,81327555614 rad
∠ C' = γ' = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,82334765819 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=4 b=6 c=8

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=4+6+8=18

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o​=218​=9

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9(9−4)(9−6)(9−8) S=9⋅ 5⋅ 3⋅ 1 S=135=11,619S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 9(9-4)(9-6)(9-8) } \ \\ S = \sqrt{ 9 \cdot \ 5 \cdot \ 3 \cdot \ 1 } \ \\ S = \sqrt{ 135 } = 11{,}619

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 11,6194=5,81 vb=2 Sb=2⋅ 11,6196=3,873 vc=2 Sc=2⋅ 11,6198=2,905S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 11{,}619 }{ 4 } = 5{,}81 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 11{,}619 }{ 6 } = 3{,}873 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 11{,}619 }{ 8 } = 2{,}905

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 6⋅ 862+82−42​)=28°57′18"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 4⋅ 842+82−62​)=46°34′3" γ=180°−α−β=180°−28°57′18"−46°34′3"=104°28′39"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=11,6199=1,291S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 11{,}619 }{ 9 } = 1{,}291

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=4⋅ 6⋅ 84⋅ 1,291⋅ 9=4,131R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 4 \cdot \ 6 \cdot \ 8 }{ 4 \cdot \ 1{,}291 \cdot \ 9 } = 4{,}131

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 62+2⋅ 82−422=6,782 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 82+2⋅ 42−622=5,568 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 42+2⋅ 62−822=3,162t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 6^2+2 \cdot \ 8^2 - 4^2 } }{ 2 } = 6{,}782 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 8^2+2 \cdot \ 4^2 - 6^2 } }{ 2 } = 5{,}568 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4^2+2 \cdot \ 6^2 - 8^2 } }{ 2 } = 3{,}162

Vypočítat další trojúhelník