Trojúhelník 4 11 13

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 4
b = 11
c = 13

Obsah trojúhelníku: S = 20,49439015319
Obvod trojúhelníku: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Úhel ∠ A = α = 16,65661861814° = 16°39'22″ = 0,29107052897 rad
Úhel ∠ B = β = 52,02201275551° = 52°1'12″ = 0,90879225031 rad
Úhel ∠ C = γ = 111,32436862635° = 111°19'25″ = 1,94329648608 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,2476950766
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 3,72661639149
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 3,1532907928

Těžnice: t_a = 11,8744342087
Těžnice: t_b = 7,8989866919
Těžnice: t_c = 5,1233475383

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,46438501094
Poloměr opsané kružnice: R = 6,97876855216

Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[2,46215384615; 3,1532907928]
Těžiště: T[5,15438461538; 1,05109693093]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; -2,53773401897]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[3; 1,46438501094]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 163,34438138187° = 163°20'38″ = 0,29107052897 rad
∠ B' = β' = 127,98798724449° = 127°58'48″ = 0,90879225031 rad
∠ C' = γ' = 68,67663137365° = 68°40'35″ = 1,94329648608 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 4 b = 11 c = 13

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 4 + 11 + 13 = 28

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 8}{2} = 14

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 14(14-4)(14-11)(14-13) } \ \\ S = \sqrt{ 14 \cdot \ 10 \cdot \ 3 \cdot \ 1 } \ \\ S = \sqrt{ 420 } = 20{,}494

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 20{,}494 }{ 4 } = 10{,}247 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 20{,}494 }{ 11 } = 3{,}726 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 20{,}494 }{ 13 } = 3{,}153

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 3 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 3}) = 16 ° 3 9^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 3 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 3}) = 52 ° 1^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 3 9^{'} 22 " - 52 ° 1^{'} 12 " = 111 ° 1 9^{'} 25 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 20{,}494 }{ 14 } = 1{,}464

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 4 \cdot \ 11 \cdot \ 13 }{ 4 \cdot \ 1{,}464 \cdot \ 14 } = 6{,}978

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 11^2+2 \cdot \ 13^2 - 4^2 } }{ 2 } = 11{,}874 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 13^2+2 \cdot \ 4^2 - 11^2 } }{ 2 } = 7{,}89 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 4^2+2 \cdot \ 11^2 - 13^2 } }{ 2 } = 5{,}123

Vypočítat další trojúhelník