Trojúhelník 3 7 7




Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 7
c = 7

Obsah trojúhelníku: S = 10,25660957484
Obvod trojúhelníku: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Úhel ∠ A = α = 24,74772502324° = 24°44'50″ = 0,43219209974 rad
Úhel ∠ B = β = 77,62663748838° = 77°37'35″ = 1,35548358281 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,62663748838° = 77°37'35″ = 1,35548358281 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 6,83773971656
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,9330313071
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 2,9330313071

Těžnice: ta = 6,83773971656
Těžnice: tb = 4,09326763859
Těžnice: tc = 4,09326763859

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,20765994998
Poloměr opsané kružnice: R = 3,58332348782

Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[0,64328571429; 2,9330313071]
Těžiště: T[2,54876190476; 0,97767710237]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; 0,76878360453]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1,5; 1,20765994998]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 155,25327497676° = 155°15'10″ = 0,43219209974 rad
∠ B' = β' = 102,37436251162° = 102°22'25″ = 1,35548358281 rad
∠ C' = γ' = 102,37436251162° = 102°22'25″ = 1,35548358281 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=7 c=7

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=3+7+7=17

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=172=8,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 17 }{ 2 } = 8{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,5(8,5−3)(8,5−7)(8,5−7) S=8,5⋅ 5,5⋅ 1,5⋅ 1,5 S=105,19=10,256S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 8{,}5(8{,}5-3)(8{,}5-7)(8{,}5-7) } \ \\ S = \sqrt{ 8{,}5 \cdot \ 5{,}5 \cdot \ 1{,}5 \cdot \ 1{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 105{,}19 } = 10{,}256

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 10,2563=6,837 vb=2 Sb=2⋅ 10,2567=2,93 vc=2 Sc=2⋅ 10,2567=2,93S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 10{,}256 }{ 3 } = 6{,}837 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 10{,}256 }{ 7 } = 2{,}93 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 10{,}256 }{ 7 } = 2{,}93

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 7⋅ 772+72−32​)=24°44′50"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 3⋅ 732+72−72​)=77°37′35" γ=180°−α−β=180°−24°44′50"−77°37′35"=77°37′35"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=10,2568,5=1,207S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 10{,}256 }{ 8{,}5 } = 1{,}207

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=3⋅ 7⋅ 74⋅ 1,207⋅ 8,5=3,583R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 3 \cdot \ 7 \cdot \ 7 }{ 4 \cdot \ 1{,}207 \cdot \ 8{,}5 } = 3{,}583

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 72+2⋅ 72−322=6,837 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 72+2⋅ 32−722=4,093 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 32+2⋅ 72−722=4,093t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 7^2 - 3^2 } }{ 2 } = 6{,}837 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 3^2 - 7^2 } }{ 2 } = 4{,}093 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 7^2 - 7^2 } }{ 2 } = 4{,}093

Vypočítat další trojúhelník