Trojúhelník 3 5 7




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 3
b = 5
c = 7

Obsah trojúhelníku: S = 6,49551905284
Obvod trojúhelníku: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5

Úhel ∠ A = α = 21,78767892983° = 21°47'12″ = 0,38802512067 rad
Úhel ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Úhel ∠ C = γ = 120° = 2,09443951024 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: va = 4,33301270189
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 2,59880762114
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,85657687224

Těžnice: ta = 5,89549130613
Těžnice: tb = 4,77696960071
Těžnice: tc = 2,17994494718

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,86660254038
Poloměr opsané kružnice: R = 4,04114518843

Souřadnice vrcholů: A[7; 0] B[0; 0] C[2,35771428571; 1,85657687224]
Těžiště: T[3,1199047619; 0,61985895741]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[3,5; -2,02107259422]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,5; 0,86660254038]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 158,21332107017° = 158°12'48″ = 0,38802512067 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 60° = 2,09443951024 rad


Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=5 c=7

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=3+5+7=15

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=o2=152=7,5s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 15 }{ 2 } = 7{,}5

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7,5(7,5−3)(7,5−5)(7,5−7) S=7,5⋅ 4,5⋅ 2,5⋅ 0,5 S=42,188=6,495S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 7{,}5(7{,}5-3)(7{,}5-5)(7{,}5-7) } \ \\ S = \sqrt{ 7{,}5 \cdot \ 4{,}5 \cdot \ 2{,}5 \cdot \ 0{,}5 } \ \\ S = \sqrt{ 42{,}188 } = 6{,}495

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=ava2  va=2 Sa=2⋅ 6,4953=4,33 vb=2 Sb=2⋅ 6,4955=2,598 vc=2 Sc=2⋅ 6,4957=1,856S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 6{,}495 }{ 3 } = 4{,}33 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 6{,}495 }{ 5 } = 2{,}598 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 6{,}495 }{ 7 } = 1{,}856

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c2−2bccosα  α=arccos(2bcb2+c2−a2​)=arccos(2⋅ 5⋅ 752+72−32​)=21°47′12"  b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2​)=arccos(2⋅ 3⋅ 732+72−52​)=38°12′48" γ=180°−α−β=180°−21°47′12"−38°12′48"=120°

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=Ss=6,4957,5=0,866S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 6{,}495 }{ 7{,}5 } = 0{,}866

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=abc4 rs=3⋅ 5⋅ 74⋅ 0,866⋅ 7,5=4,042R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 3 \cdot \ 5 \cdot \ 7 }{ 4 \cdot \ 0{,}866 \cdot \ 7{,}5 } = 4{,}042

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=2b2+2c2−a22=2⋅ 52+2⋅ 72−322=5,895 tb=2c2+2a2−b22=2⋅ 72+2⋅ 32−522=4,77 tc=2a2+2b2−c22=2⋅ 32+2⋅ 52−722=2,179t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 5^2+2 \cdot \ 7^2 - 3^2 } }{ 2 } = 5{,}895 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 3^2 - 5^2 } }{ 2 } = 4{,}77 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 5^2 - 7^2 } }{ 2 } = 2{,}179

Vypočítat další trojúhelník